我正在为考试复习，想确认一下我对$HK/K \cong H/H\cap K$这个同构证明的逻辑是否正确。

命题背景 #

给定有限群$G$，$H, K\leq G$，且$HK$是群，$K\trianglelefteq HK$，需要证明$HK/K \cong H/H\cap K$。

我的证明思路 #

已知$K\trianglelefteq HK$，我构造了映射$\varphi: H \longrightarrow HK/K$，定义为$\varphi(h)=hK$。按照第一同构定理，只需要证明$\varphi$是满射，且$\ker\varphi=H\cap K$即可。我的具体推理如下：

根据拉格朗日定理，我当时算出$|HK/K|=|HK|/|K|=|H||K|/|K|=|H|$，认为这意味着$HK/K$有$|H|$个不同的陪集，每个陪集大小为$|K|$。因为映射$\varphi$的定义域$H$和陪域$HK/K$的基数相同，所以这个映射是满射（每个陪集都有原像，毕竟陪集数量和$H$的元素数量都是$|H|$）。

对于核$\ker\varphi$，它是所有满足$hK=eK$（即$h\in K$）的$h\in H$的集合，也就是$H\cap K$，所以$\ker\varphi=H\cap K$。这样根据第一同构定理，就可以得出$HK/K \cong H/H\cap K$。

想请大家帮我看看这个推理是否正确，如果不对的话，麻烦解释一下问题出在哪，我现在有点搞不懂这个证明到底该怎么弄了。

补充修改 #

后来有人告诉我我用的基数论证不对，我也意识到$|HK|=|H||K|/|H\cap K|$，所以代入$|HK|/|K|$应该得到$|H|/|H\cap K|$，而不是我之前算的$|H|$。我之前这么写确实有点蠢，但我就是不想只说“这是满射”就完事，觉得那样拿不到满分，所以才想找别的办法证明满射。

那现在是不是直接说$\varphi$是满射，因为$HK/K$里的任意元素$hkK=hK$，而这正好就是$\varphi(h)$就足够了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pyat