我现在要解决的问题是通过积分方程证明图中的点P是椭圆的焦点，同时推导椭圆参数b，之后再延伸到非弹性碰撞场景下的参数b'，具体细节如下：

核心方程与初始目标 #

我需要求解下面的积分方程，以此证明图中的点P是椭圆的焦点：
$$N = \tfrac{1}{R^2} \int_0^{2\pi} q^2 \cos \phi ,{\rm d}\phi$$

对应的椭圆极坐标方程（以q和φ为变量）为：
$$\left(\frac{q}{R}\sin\phi\right)^2 + \left(\frac{q}{R}\cos\phi - \frac{b}{R}\right)^2\sin2\beta = 1$$

我的首要目标是求出这个方程中的常数b。

弹性碰撞（P为焦点）的已知结论 #

当P是椭圆焦点时，对应100%弹性碰撞（冲击时无能量损失）的x方向动量平衡，此时有：
$$N = 2\pi\cot \beta = \frac{1}{R^2} \int_0^{2\pi} q^2 \cos \phi ,{\rm d}\phi$$

从相关文献中我得知，通过联立积分方程和椭圆极坐标方程，可以解得：
$$b = R\cot\beta$$
但文献没有给出具体推导过程，所以我希望能通过直接求解积分来验证这个结果。

非弹性碰撞（P'点）的参数b'推导需求 #

接下来我要处理点P'的情况——它不是椭圆的焦点，对应冲击时存在能量损失的非弹性碰撞场景。此时椭圆极坐标方程中的b需要替换为b'，对应的动量平衡方程变为：
$$N = \frac{2\pi\cot \beta}{A} = \frac{1}{R^2} \int_0^{2\pi} q'^2 \cos \kappa ,{\rm d}\kappa$$

其中A是与θ相关的常数：当碰撞为100%弹性时A=1，此时b'=b；当A<1时则对应非弹性碰撞。我猜测b'的解可能是：
$$b' = \frac{R\cot\beta}{A}$$

推导思路探讨 #

我原本的想法是，如果能通过直接求解积分得到弹性碰撞下的b值，那或许就能把方法推广到非弹性场景求出b'。不过我也在考虑更简便的路径：既然已经确认弹性碰撞下$b = R\cot\beta$是正确的，说不定不用硬解积分，就能基于这个结论推导出b'的表达式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rdemo