先给大家说下问题背景：

一名篮球运动员反复练习罚球，每次投篮相互独立，命中概率为p。现在要考虑他一直投篮直到首次连续命中7次为止，设X为他总共投的次数，需要证明$E(X) ≤ \frac{7}{p^7}$。

我最开始是想用期望的线性性和几何分布来解这个问题，但看到一个已关闭问题里的答案和我的结果不一样，实在搞不懂差异出在哪，想请大家帮忙解释下。

我的解法思路 #

我是这么想的：

• 定义$I_i$为「第i组7次投篮全命中」的事件
• 把X看作首次出现全命中组的组号，那X应该服从参数为$p^7$的首次成功分布（几何分布的一种），所以$E(X) = \frac{1}{p^7}$
• 再设Y是首次连续7次命中的总投篮次数，我觉得Y就等于X组的最后一次位置，也就是$Y = X + 6$，所以期望$E(Y) = E(X) + 6 = 6 + \frac{1}{p^7}$
• 最后简单算一下就能看出$6 + \frac{1}{p^7} ≤ \frac{7}{p^7}$，刚好满足题目要证的不等式

另一种解法 #

另一个答案是用递推的方式来做的：

• 定义$E(n)$为首次连续命中n次所需的期望投篮次数
• 推导出来递推关系式：
  $$E(n) = E(n-1) + p + (1-p)(1+E(n))$$
• 化简这个式子后得到：
  $$E(n) = \frac{1}{p} + \frac{E(n-1)}{p}$$
• 结合初始条件$E(0) = 0$（连续命中0次不需要投篮），一步步推到n=7的话，就得到：
  $$E(7) = \frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}+\frac{1}{p}3}+\frac{1}{p^{4}+\frac{1}{p}5}+\frac{1}{p^{6}+\frac{1}{p}7}$$
• 这个结果也满足$E(7) ≤ \frac{7}{p^7}$，但问题来了——一般情况下$6 + \frac{1}{p^7}$和这个求和式根本不相等啊！

我实在搞不懂这两种解法的差异到底在哪，为什么两个不同的结果都能满足题目不等式，但逻辑上应该只有一个是对的（或者说我的思路哪里错了？），麻烦大家帮忙分析下。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nezam jazayeri