我最近在啃复变函数里多值对数函数的解析性问题，目标是确定$\text{Log}(z^3)$的解析定义域，这里$z=x+iy$是复数。

先从已知的基础结论入手：复对数主值$\text{Log}(w)$的非解析区域是$w\in(-\infty,0]$——也就是当$w$落在负实轴（包括原点）上时，$\text{Log}(w)$不解析。那对应到$\text{Log}(z^{3)$，就意味着**当$z}3$落在负实轴上时，这个函数就不解析**。

接下来我计算了$z^3$的实部和虚部：

• $\operatorname{Re}(z^3)=x3-3xy^2$
• $\operatorname{Im}(z^3)=3x2y-y^3$（这里纠正了一个小笔误，虚部是实数，不需要带$i$）

当$z^3$落在负实轴上时，需要同时满足两个条件：

1. 虚部为0（保证$z^3$在实轴上）
2. 实部≤0（保证落在负实轴）

先解虚部为0的情况：$3x^2y - y^3 = 0$，因式分解后得到$y=0$或者$y=\pm\sqrt{3}x$。再结合实部≤0的条件，就能确定非解析区域：

• 当$y=0$时，实部$x^3 ≤0$，对应$x≤0$的负实轴；
• 当$y=\sqrt{3}x$时，代入实部得$-8x^3 ≤0$，对应$x≥0$的这条射线；
• 当$y=-\sqrt{3}x$时，代入实部得$-8x^3 ≤0$，对应$x≤0$的这条射线。

所以$\text{Log}(z^{3)$的**非解析区域**就是这三条半直线，以及它们分割出的三个120度扇形区域（这些区域里的$z$会让$z}3$落在负实轴上）。

反过来，$\text{Log}(z^{3)$的**解析区域**就是复平面上除去上述非解析区域的部分，也就是满足$x}3-3xy^2>0$，且不在$y=\pm\sqrt{3}x$对应半直线上的区域。

为了更直观理解，我画了一个粗略的草图：

图里的黑色“三叶形”区域就是解析区域，这些区域会无限延伸，我用PPT画的三角形大概示意了形状。不过我有点拿不准，这样的解读是不是正确的？有没有哪里计算错或者理解偏差的地方？希望能得到大家的帮助或者确认，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math Goblin