给定积分如下：
$$
\int_{ }^{ }\frac{\left(\arccos\left(x\right)\sqrt{1-x^{2}}\right){-1}}{\log_{e}\left(1+\frac{\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^{2}}\right)}{\pi}\right)}dx
$$

我没办法用LaTeX写出全部推导过程，但我有手写的推导步骤（我知道结果里漏了$+C$）。

我清楚我的归纳证明在语法和数学规范上不够严谨，但通过证明$I_n$与$I_{n+1}$的递推关系，且验证$I_1$符合该关系，我认为猜想是成立的，最终得到如下修正后的解（原答案漏了积分外的负号）：
$$
-\frac{1+\frac{2}{\pi}\cos^{{-1}\left(x\right)}{\ln\left(1+\frac{2}{\pi}\cos}{-1}\left(x\right)\right)}\cdot\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{n!}{\left(\ln\left(1+\frac{2}{\pi}\cos}{-1}\left(x\right)\right)\right)^{{n}}+\frac{\pi}{2}\ln\left(\ln\left(1+\frac{2}{\pi}\cos}{-1}\left(x\right)\right)\right) + c
$$

我不确定是否还有其他小错误，所以想确认这个结果是否正确。我的困惑在于：Wolfram Alpha和积分计算器都表示该积分没有初等函数解，而且在计算定积分时给出的结果很奇怪。

接下来我还有几个疑问：

• 如果是定积分的话，这个求和式是不是总是发散到无穷？这是不是意味着任何定积分的结果都是无穷？或者会出现无穷减无穷等于0的情况？但这和函数图像不符，也和计算机计算的结果矛盾。
• Wolfram Alpha等工具说它没有初等函数形式的原函数，是不是因为我的解里包含求和式？但求和式也算初等函数吗？
• 能不能找到这个定积分的函数表达式，至少是它的数值？比如能不能找到区间$1 > b > a > 0$上的定积分通式？因为函数图像显示这个区间内的积分应该是收敛的（函数在$x=0$、$x\ge1$、$x\le-1$处无定义）。

我用积分计算器计算了从0.1到0.9的近似积分，结果大约是−4.73170536005842，但这显然有问题——因为在0.1到0.9之间函数图像是正的。该区间内的函数图像描述：图像始终位于x轴上方，面积应为正，后来发现计算结果为负是因为上限小于下限的操作失误。

编辑补充：
经过一些研究，我发现$\int \frac{e^u}{u}du$是指数积分$\text{Ei}(u)$。不过维基百科上的求和式和我的差了一个负号，分母的系数也有差异，我还没完全搞懂其中的原理，也不明白为什么在函数有定义的区间内定积分没有确定值。我知道$\text{Ei}$不是初等函数，但不理解这为什么会和定积分产生矛盾。

我还是不确定这个解对应的定积分怎么计算，因为求和式看起来对所有$u$值都是发散的（阶乘的增长速度比指数快），但这和函数图像显示的“特定区间内存在确定面积”的情况矛盾。

另外，Wolfram Alpha给出的$\int \frac{e^{2u}}{u}du = \text{Ei}(2u)$，如果按照$\int \frac{e^u}{u}du = \text{Ei}(u) = \frac{e^{u}{u}\sum_{n=0}}{\infty}\frac{n!}{u^n}$来推导，和我的结果也不一致。而且用$\text{Ei}(2x)$计算0.1到0.9的定积分时，结果还是负的，这和该区间内函数严格为正的事实不符。

希望能得到相关帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mihindu