嘿，我来帮你理清这个困惑！你遇到的问题其实是傅里叶级数求解微分方程时，边界条件与级数基函数的匹配性，以及逐项求导的收敛性限制导致的，咱们一步步拆解：

首先，先明确你的第一个尝试：
你写出的$y(x)=x^2-1$的余弦傅里叶展开是对的：
$$y(x)=\frac{-2}{3}+\sum_{n=1}^{{\infty}{\frac{4(-1)}n\cos(n\pi x)}{n^2\pi ^2}}$$
但为什么代入二阶导数后得到的级数不等于2呢？核心原因有两个：

1. 逐项求导的收敛性限制 #

傅里叶级数不是随便就能逐项求导的！原函数$y(x)=x^2-1$在$[-1,1]$上连续可导，但它的一阶导数$y'(x)=2x$在区间端点$x=\pm1$处的取值是$y'(1)=2$、$y'(-1)=-2$，二者不相等。这意味着当我们把$y(x)$延拓成周期为2的函数时，一阶导数在端点处是间断的。

对$y(x)$的傅里叶级数逐项求导后，得到的是$y'(x)$的傅里叶级数，但这个级数是条件收敛的，仅在连续点处收敛到$y'(x)$，在间断点处收敛到左右极限的平均值。再求二阶导数的话，$y''(x)=2$在区间内部是常数，但它的周期延拓在端点处是不存在的（因为一阶导数在这里跳跃了4），所以逐项求导得到的二阶导数级数不会处处等于2，只有在区间内部的连续点才等于2，你直接把它和2画等号就忽略了这个收敛性的边界问题。

2. 基函数不满足齐次边界条件 #

你第一个尝试用的基函数$\cos(n\pi x)$，在边界$x=\pm1$处的取值是$\cos(n\pi (\pm1))=(-1)^n$，并不满足原方程的齐次边界条件$y(\pm1)=0$。这就导致你用这个基展开的级数，虽然能表示原函数，但在代入微分方程时，无法保证边界处的导数条件匹配，进而使得逐项求导后的级数不能准确对应原方程要求的二阶导数。

再看你的第二个尝试为什么正确：
你选择的基函数$\cos\left(\frac{2n+1}{2}\pi x\right)$天生满足边界条件：
$$\cos\left(\frac{2n+1}{2}\pi \cdot (\pm1)\right)=\cos\left(\pm(n\pi+\frac{\pi}{2})\right)=0$$
完美契合$y(\pm1)=0$的要求！这个基函数构成的是满足齐次边界条件的函数子空间的正交基，在这个空间里：

• 你把方程右端的常数2也用这个基展开，保证了方程两边在同一个函数空间里；
• 逐项求导是合法的，因为基函数本身满足边界条件，求导后的级数收敛性也能匹配微分方程的要求；
• 解出来的系数$A_n$对应的级数，不仅能收敛到$y(x)$，逐项求导后的级数也能准确对应原方程的二阶导数，自然就满足整个方程了。

总结一下：

• 第一个级数是$y(x)$在整个$L^2[-1,1]$空间的傅里叶展开，基函数不满足边界条件，且逐项求导后的级数受限于收敛性，无法准确匹配微分方程的二阶导数；
• 第二个级数是在满足齐次边界条件的子空间里的展开，基函数与边界条件匹配，求解过程严格符合微分方程的弱解要求，所以结果正确。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1774936