嗨，我来帮你把这个问题理清楚～先从你提到的数学归纳法入手，再解释你发现的末尾数字循环规律：

一、用数学归纳法完成证明 #

先搞定基础验证，再处理你困惑的k+1递推部分：

• 基础步骤：先验证几个最小的符合条件的数：

  • 9 = 5 + 4（5是5的倍数，4是偶数）
  • 10 = 10 + 0（10是5的倍数，0属于偶数）
  • 11 = 5 + 6
  • 12 = 10 + 2
  • 13 = 5 + 8
    这几个都成立，覆盖了末位从9到3的所有情况，足够支撑后续递推。

• 归纳步骤：假设对于任意正整数k≥9，k可以表示为 a + b，其中a是5的倍数，b是偶数。现在看k+1的情况：
  我们可以根据k的末位（也就是k模5的余数）来调整a和b：

  • 如果k的末位是0（k≡0 mod5）：比如k=10，k+1=11=5+6，把原来的a=10换成5（仍是5的倍数），b从0换成6（偶数）即可。
  • 如果k的末位是1（k≡1 mod5）：比如k=11，k+1=12=10+2，直接取a=10（5的倍数），b=2（偶数）。
  • 如果k的末位是2（k≡2 mod5）：比如k=12，k+1=13=5+8，把a从10换成5，b从2换成8（偶数）。
  • 如果k的末位是3（k≡3 mod5）：比如k=13，k+1=14=10+4，直接取a=10，b=4（偶数）。
  • 如果k的末位是4/9（k≡4 mod5）：比如k=9，k+1=10=10+0，把a从5换成10，b从4换成0（偶数）。

  不管哪种情况，k+1都能拆成5的倍数加偶数，归纳递推就成立了。

二、你观察到的末尾循环规律的本质 #

你发现a的末尾循环5和0，b的末尾循环4,0,6,2,8，其实是模10余数的组合规律：

• 5的倍数的末位只有两种可能：0（偶数倍的5，比如10、20）和5（奇数倍的5，比如5、15），所以a的末位会在0和5之间循环。
• 偶数的末位只能是0、2、4、6、8，刚好覆盖所有偶数的末位情况。

当我们把n拆成a+b时，本质是用0/5这两个末位，去搭配0/2/4/6/8，凑出n的末位：

• 末位9：5+4
• 末位0：10+0
• 末位1：5+6
• 末位2：10+2
• 末位3：5+8
• 末位4：10+4
• 末位5：15+0
• 末位6：10+6
• 末位7：5+12
• 末位8：10+8

你看到的b的末位循环4,0,6,2,8，刚好对应n从9开始依次加1的情况，每5个数字就会重复一次这个循环——因为5的倍数的末位每两个数循环一次，两者结合就形成了你观察到的规律啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lmaooooo