嘿，这个问题挺有意思的，我来帮你捋清楚为什么会出现常数项看似不一致的情况～

首先，你的推导过程本身没毛病，但核心误解出在不定积分的无限分部积分展开，本质是把原不定积分转化成了一个带固定偏移的级数加上常数，而这个偏移和新常数合起来仍然等价于原不定积分的任意常数。

我们一步步拆解：

• 你通过反复分部积分得到的级数 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}ex}{(n+1)!}$，化简后确实等于 $e^x - 1$。这个结果其实正好是定积分 $\int_0^x e^t dt$ 的计算结果——它是一个确定的原函数（以0为下限的积分结果）。
• 而不定积分 $\int e^x dx$ 的本质是所有原函数的集合，也就是 $e^x + C_1$（$C_1$ 是任意常数）。现在你的级数表达式是 $(e^x - 1) + C_2$，这两个集合是完全等价的：只要让 $C_2 = C_1 + 1$，两者就表示同一个原函数集合。

那为什么你会觉得“分部积分应该两边常数一致”？其实分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$ 本身是严谨的——两边都是不定积分，各自都包含任意常数。但当你无限次展开并把余项积分替换成常数 $C_2$ 时，相当于把原来的任意常数 $C_1$ 拆成了级数里的固定偏移项 $-1$ 和新的常数 $C_2$。换句话说，原来的 $C_1$ 被拆成了 $C_2 - 1$，看起来常数项不一样，但实际上两个表达式描述的原函数集合完全相同。

再换个定积分的角度验证：如果我们取定积分 $\int_a^x e^t dt = e^x - e^a$，用无限分部积分展开后，得到的级数会是 $e^x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} - e^a \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}$。后者的级数等于 $e^a - 1$，代入后定积分结果就是 $(e^x -1) - (e^a -1) = e^x - e^a$，和直接计算一致。当你把定积分写成不定积分形式时，就是 $e^x + (-e^a) = (e^x -1) + (1 - e^a)$，这里的 $-e^a$ 就是 $C_1$，$1 - e^a$ 就是 $C_2$，显然 $C_2 = C_1 +1$，完美对应你发现的关系。

总结一下：这个现象并不是分部积分的漏洞，而是因为你把不定积分的无限展开式中的“固定偏移项（-1）”和任意常数项分开了，两者合起来仍然是任意常数，所以两个表达式是等价的，只是常数的表示形式不同而已。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Brandon Harad