大家好，我正在尝试证明一个关于多项式和正多边形的结论，希望能得到社区的帮助：

要证明的结论：
若$p(z)$是复数域上的非常数多项式，$m$是满足$m > \deg p$的整数，则$p(z)$在复平面内任意正$m$边形顶点处取值的算术均值等于$p(z)$在该正$m$边形中心处的取值。

我的初步思路如下：

• 设多项式$p(z) = a_nz^n + \dots + a_1z + a_0$（其中$a_n \neq 0$），且$m > n$。令$z_1,z_2,\dots,z_m$为正$m$边形的$m$个顶点，展开求和可得：
  $$\sum_{k=1}^{m}p(z_k) = a_n\sum_{k=1}^{m}(z_k)n + \dots + a_1\sum_{k=1}^{m}z_k + ma_0$$
• 我先把正$m$边形的中心设为原点简化问题，将顶点用极坐标表示为$z_i = r(\cos\theta_i + i\sin\theta_i)$。
• 我尝试用原点对称的顶点对分析：对于每个$z_i$，存在它关于原点的对称点$z_j = -z_i = r(\cos(\theta_i\pm\pi) + i\sin(\theta_i\pm\pi))$。当$n$为奇数时，显然$z_i^n + z_j^n = 0$；但当$n$为偶数时，这种对称分组的方法无法直接让对应项的和为0，没法直接推导出总和等于$ma_0$。
• 我直觉上觉得应该换一种思路：不用原点对称，而是利用棣莫弗公式把顶点的极坐标写成和单位根相关的紧凑形式（比如顶点可以表示为$c + r\omega^{k$，其中$c$是中心，$\omega$是$m$次单位根，$k=0,1,\dots,m-1$），这样应该能直接计算出每个$\sum_{k=1}}{m}z_k^t$（$t=1,2,\dots,n$）都等于0，进而得到总和为$ma_0$，算术均值就是$a_0 = p(c)$（当中心是$c$时）。不过我对单位根的相关知识掌握得比较有限，不知道怎么把这个思路严谨地表达出来。

有没有大佬能帮我把这个证明补全，或者给我一些具体的提示呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者autodidacti