若 $I=(du)^2+\sin2u(dv)^2=II$，证明曲面可表示为 $$\underline{x}=\sin u\cos v:e_1+\sin u\sin v:e_2+\cos u:e_3+\underline{c}$$

这个练习题真的挺有意思的——居然仅凭第一、第二基本形式就能确定曲面，但我手头的课本里完全没讲过类似的内容。我已经先把两种基本形式的系数求出来了：

• 第一基本形式系数：$E=1,F=0,G=\sin^2 u$
• 第二基本形式系数：$e=1,f=0,g=\sin^2 u$

现在我卡壳了，不知道该用什么思路去推导题目里的曲面方程。我有一些零散的想法：比如先计算高斯曲率$K=\frac{eg-f^2}{EG-F2}=\frac{\sin^2 u}{\sin^2 u}=1$，或者尝试求曲面的法向量，但这些尝试都没帮我得到目标曲面方程。

后来我试着用Weingarten方程和高斯方程推导，得出了$X_{uuu}+X_u=0$这个式子，顺着这个式子往下推，最终确实得到了题目里的曲面方程（只差刚体运动：平移和旋转）。我想知道这个方法是不是具有一般性？

另外我还想到，是不是必须要验证相容性方程（高斯方程和Codazzi-Mainardi方程）？这一步是必要的吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者N00BMaster