嗨，别着急，你的思路其实已经摸到门道啦！不管是用垂直平分线找圆心，还是考虑分扇形，都是正确的方向，只是还差一步把半径算出来而已，我给你一步步拆解：

首先要明确：等边三角形的外接圆圆心（外心）和它的重心、垂心、内心是重合的，所以你说的垂直平分线交点就是圆心O，这个点到任意顶点的距离就是我们要的半径r。

方法一：利用直角三角形+三角函数 #

我们取一条边，比如PQ，长度8cm，从O向PQ作垂线，垂足为M。因为是等边三角形，这条垂线同时也是PQ的中线和角平分线，所以PM = 8/2 = 4cm，而∠OPM = 60°/2 = 30°（等边三角形每个内角60°，被平分线分成两半）。

在直角三角形OPM里，邻边PM和斜边OP（也就是r）的关系是：
cos(30°) = PM / r
代入数值：
√3/2 = 4 / r
解这个式子就能得到：
r = 4 / (√3/2) = 8/√3
有理化之后就是 r = (8√3)/3 cm

方法二：用余弦定理（对应你想的扇形思路） #

因为圆心O到三个顶点距离都是r，所以△OPQ是等腰三角形，PQ=8cm，圆心角∠POQ是120°（因为圆周角是60°，圆心角是它的两倍）。

根据余弦定理：
PQ² = OP² + OQ² - 2·OP·OQ·cos(∠POQ)
代入已知数值：
8² = r² + r² - 2·r·r·cos(120°)
因为cos(120°)=-1/2，所以：
64 = 2r² - 2r²·(-1/2)
化简后：
64 = 3r²
所以r² = 64/3，开方后得到r = 8/√3，和方法一结果一致。

现在有了半径r，外接圆的周长C就是2πr，代入r的表达式：
C = 2π·(8√3/3) = (16π√3)/3 cm

这样就得到最终的周长表达式啦，是不是清晰多了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者b0018877