问题1：确定满足条件的实射影直线射影变换 #

要找到满足以下条件的射影变换 ( h: \mathbb{P}_1(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{P}_1(\mathbb{R}) )：

• ( (1:1) ) 是不动点（即 ( h(1:1)=(1:1) )）
• 交换点 ( (3:0) ) 和 ( (0:2) )（即 ( h(3:0)=(0:2) )，( h(0:2)=(3:0) )）

方法1：矩阵构造法 #

射影变换对应可逆矩阵 ( H \in \text{Mat}_2(\mathbb{R}) )（矩阵可相差非零常数倍），我们可以通过条件直接推导矩阵：

设 ( H = \begin{pmatrix} p & q \ r & s \end{pmatrix} )，根据条件列方程：

1. 对 ( (3:0) )：( H \begin{pmatrix} 3 \ 0 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 0 \ 2 \end{pmatrix} )（( \lambda \in \mathbb{R}^* )）
   展开得 ( 3p = 0 )，( 3r = 2\lambda )，因此 ( p=0 )，( r = \frac{2\lambda}{3} )。
2. 对 ( (0:2) )：( H \begin{pmatrix} 0 \ 2 \end{pmatrix} = \mu \begin{pmatrix} 3 \ 0 \end{pmatrix} )（( \mu \in \mathbb{R}^* )）
   展开得 ( 2q = 3\mu )，( 2s = 0 )，因此 ( s=0 )，( q = \frac{3\mu}{2} )。
3. 对不动点 ( (1:1) )：( H \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} = \nu \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} )（( \nu \in \mathbb{R}^* )）
   展开得 ( q = r )，代入前两式得 ( \frac{3\mu}{2} = \frac{2\lambda}{3} )，取 ( \lambda=9 ) 则 ( \mu=4 )，此时 ( q=r=6 )。

最终得到矩阵 ( H = \begin{pmatrix} 0 & 6 \ 6 & 0 \end{pmatrix} )，简化为 ( \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} )（射影矩阵允许非零常数倍缩放）。

验证变换效果 #

• ( (3:0) ) 经 ( H ) 映射为 ( (0:3) = (0:2) )（射影点等价）
• ( (0:2) ) 经 ( H ) 映射为 ( (2:0) = (3:0) )（射影点等价）
• ( (1:1) ) 经 ( H ) 映射为 ( (1:1) )，符合不动点要求

在仿射坐标下（将 ( (x_0:x_1) ) 对应 ( \frac{x_0}{x_1} )，无穷远点 ( (1:0) ) 记为 ( \infty )），该变换就是 ( x \mapsto \frac{1}{x} )，完美满足所有条件。

方法2：交比（双比）验证 #

根据射影变换保持交比不变的性质，对任意点 ( d=(x_0:x_1) )，有：
[ \text{DR}((3:0), (0:2), (1:1), d) = \text{DR}(h(3:0), h(0:2), h(1:1), h(d)) ]
代入已知条件，左边为 ( \text{DR}((3:0), (0:2), (1:1), d) = \frac{x_0}{x_1} )，右边为 ( \text{DR}((0:2), (3:0), (1:1), h(d)) = \frac{y_1}{y_0} )（其中 ( h(d)=(y_0:y_1) )）。

令两者相等得 ( \frac{x_0}{x_1} = \frac{y_1}{y_0} )，即 ( y_0 y_1 = x_0 x_1 )，这与矩阵 ( \begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix} ) 对应的变换一致。

问题2：射影变换的不动点存在性分析 #

情况1：( \mathbb{F} = \mathbb{C} ) #

不存在这样的 ( n \in \mathbb{N} )，使得存在射影变换 ( f: \mathbb{P}_n(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{P}_n(\mathbb{C}) ) 没有不动点。

原因：射影变换对应可逆矩阵 ( A \in \text{GL}(n+1, \mathbb{C}) )，不动点等价于 ( A ) 的特征向量（射影点 ( x ) 满足 ( Ax = \lambda x )，( \lambda \in \mathbb{C}^* )）。根据代数基本定理，复数域上任意矩阵都至少有一个特征值，因此必有对应的特征向量，即射影空间中至少存在一个不动点。

情况2：( \mathbb{F} = \mathbb{R} ) #

当且仅当 ( n ) 为奇数时，存在这样的射影变换 ( f ) 没有不动点：

• 当 ( n ) 为奇数时，( n+1 ) 是偶数。我们可以构造一个 ( (n+1) \times (n+1) ) 的实可逆矩阵，无实特征值（例如分块对角矩阵，每个块为 ( \begin{pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix} )）。对应的射影变换不存在实特征向量，因此没有不动点。
• 当 ( n ) 为偶数时，( n+1 ) 是奇数。实系数多项式奇数次必有实根，因此任意 ( (n+1) \times (n+1) ) 实矩阵必有实特征值，对应射影空间中的不动点，不存在无不动点的射影变换。

示例：( n=1 ) 时，矩阵 ( \begin{pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix} ) 对应的射影变换 ( x \mapsto -\frac{1}{x} )，在 ( \mathbb{P}_1(\mathbb{R}) ) 中无不动点（解方程 ( x = -\frac{1}{x} ) 无实解，无穷远点与0也互相映射而非不动）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Marius Lutter