嘿，咱们来一步步拆解这个方程，先把对合$\psi$的作用理清楚，这是关键。首先，$\mathbb{Q}(q)$里的任何元素都可以拆成对称部分和反对称部分：对任意$x \in \mathbb{Q}(q)$，令$x = x_+ + x_-$，其中$\psi(x_+) = x_+$（对称，即$x_+(q^{-1})=x_+(q)$），$\psi(x_-) = -x_-$（反对称，$x_-(q^{-1})=-x_-(q)$）。这个分解是唯一的，因为对称和反对称子空间是直和。

先把原方程里的各项用这个分解展开：

• 计算$x^2 - \psi(x^{2)$：展开$x}2=(x_++x_-)^2=x_+2+2x_+x_-+x_-^{2$，而$\psi(x}2)=x_+^{2-2x_+x_-+x_-}2$，所以两者相减得$4x_+x_-$。
• 计算$\psi(x)a$：$\psi(x)=x_+-x_-$，所以这一项是$(x_+-x_-)a$。

把这些代入原方程，得到：
$$4x_+x_- + (x_+-x_-)a + b = 0$$

接下来，咱们把$a$和$b$也拆成对称+反对称：$a=a_++a_-$，$b=b_++b_-$，然后把等式按对称、反对称部分分开（因为等式两边为0，所以对称部分和反对称部分必须各自为0）：

分离后的方程组 #

1. 对称部分等式：$x_+a_+ - x_-a_- + b_+ = 0$ --- (1)
2. 反对称部分等式：$4x_+x_- + x_+a_- - x_-a_+ + b_- = 0$ --- (2)

现在分两种情况讨论：

情况1：$a$的对称部分$a_+ \neq 0$

从方程(1)可以解出$x_+$：
$$x_+ = \frac{x_-a_- - b_+}{a_+}$$
把这个代入方程(2)，两边乘$a_+$消分母，整理后得到一个关于$x_-$的二次方程：
$$4a_-x_-^2 + \left(-4b_+ + a_-^2 - a_+^2\right)x_- + \left(-a_-b_+ + b_-a_+\right) = 0$$

在域$\mathbb{Q}(q)$中，二次方程的解的个数取决于判别式：

• 如果判别式$\Delta$是$\mathbb{Q}(q)$中的平方元，那么有2个不同的解（或1个重根解，当$\Delta=0$时）；
• 如果$\Delta$不是平方元，那么无解。

每个$x_-$的解对应唯一的$x_+$，从而对应原方程的一个解$x=x_++x_-$，所以这种情况下解的个数是0、1或2。

情况2：$a$的对称部分$a_+ = 0$（即$a$是反对称的，$a=a_- \neq 0$）

这时候方程(1)简化为：$-x_-a + b_+ = 0$，直接解出$x_- = \frac{b_+}{a}$。

把$x_-$代入方程(2)，整理后得到关于$x_+$的一次方程：
$$x_+ \cdot \left(\frac{4b_+}{a} + a\right) + b_- = 0$$

这里又分两种子情况：

• 若$\frac{4b_+}{a} + a \neq 0$（即$4b_+ + a^2 \neq 0$），则可以解出唯一的$x_+$，从而原方程有唯一解；
• 若$\frac{4b_+}{a} + a = 0$（即$4b_+ + a^2 = 0$）：
  • 如果$b_- \neq 0$，则一次方程无解，原方程无解；
  • 如果$b_- = 0$，则一次方程变为$0=0$，此时$x_+$可以是任意对称函数，原方程有无穷多个解（所有形如$x = x_+ + \frac{b_+}{a}$的元素，其中$x_+$是$\mathbb{Q}(q)$中的对称函数）。

总结一下解的个数 #

• 一般情况下（$a_+ \neq 0$）：解的个数为0、1或2；
• 当$a$是反对称函数且$4b_+ + a^2 \neq 0$时：有唯一解；
• 当$a$是反对称函数、$4b_+ + a^2 = 0$且$b_- = 0$时：有无穷多个解；
• 当$a$是反对称函数、$4b_+ + a^2 = 0$且$b_- \neq 0$时：无解。

所以你希望方程有唯一解的情况是存在的，比如当$a$是反对称且$4b_+ + a^2 \neq 0$，或者当$a_+ \neq 0$且二次方程有重根时。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者esteban