嘿，咱们来一步步拆解这个赌场加倍下注的问题，帮你理清思路～

a) 计算期望收益（以初始赌注$b为变量） #

你最开始的思路确实有点偏，咱们重新梳理：

首先明确规则：每次下注有50%概率赢，赢了能拿到2倍赌注（净赚1倍赌注）；输了就加倍下注，直到赢一次为止——只要赢一次，就能把之前所有亏损补回来，还净赚初始赌注$b。

咱们来拆解所有可能的场景：

• 第一次就赢：概率1/2，净赚$b
• 第一次输、第二次赢：概率$(1/2)^2$，净赚$b$（输了$b$，下注$2b$赢了$4b$，总收益是$4b - b -2b = b$）
• 前两次输、第三次赢：概率$(1/2)^3$，净赚还是$b$
• ...以此类推，第n次才赢的概率是$(1/2)^n$，净赚$b$

现在计算期望收益$E$，就是所有场景的收益乘以对应概率的总和：

E = (1/2)*b + (1/2)^2*b + (1/2)^3*b + ...

这是一个首项为$b/2$、公比为$1/2$的无穷等比数列，求和结果是：

E = b*(1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) = b*1 = b

也就是说，你的期望收益等于初始赌注$b$——看起来好像稳赚不赔？但咱们看第二部分就知道问题在哪了。

b) 为什么长期玩这个策略不靠谱？ #

你说的核心点没错，但可以再细化下现实中的限制：

• 没有无限资金：连续输$n$次后，你需要下注的金额是$b*2^(n-1)$，这是指数级增长的。比如初始赌注$10，连续输5次就要下注$160，输10次就得下注$5120，大多数人根本扛不住几次连续亏损，一旦资金耗尽，之前的所有亏损都收不回来。
• 赌场有下注上限：就算你真的有无限资金，几乎所有赌场都会设置单笔下注上限，到了上限你就没法继续加倍下注了。这时候如果还没赢，之前的亏损就彻底打了水漂。
• 极端亏损的必然性：从概率上来说，连续输10次的概率是$(1/2)^10≈0.1%$，看起来很低，但只要你玩的次数足够多，这种极端情况一定会发生——一次这样的连续亏损，就能让你亏掉远超之前所有盈利的钱，直接破产。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user130306