嘿，这个问题问到点子上了，我来给你仔细捋一捋～

首先得明确前提：双曲平面里能实现正$p$-边形、每个顶点周围围$q$个的镶嵌，必须满足**$1/p + 1/q < 1/2$**，这是双曲几何和欧氏几何的核心区别之一，先把这个条件记下来。

一、原点到相邻顶点的欧氏距离计算 #

我们分两步来推导：

1. 先求双曲边长 #

双曲正$p$-边形的内角是$2π/q$（因为$q$个多边形在顶点处拼合，内角和刚好是$2π$）。根据双曲几何中多边形的内角与边长关系，有公式：
$$\cos\left(\frac{π}{p}\right) = \sin\left(\frac{π}{q}\right) \cosh(a)$$
其中$a$是正$p$-边形的双曲边长。我们可以解出$\cosh(a)$：
$$\cosh(a) = \frac{\cos\left(\frac{π}{p}\right)}{\sin\left(\frac{π}{q}\right)}$$
进而得到双曲边长$a = \text{arccosh}\left( \frac{\cos\left(\frac{π}{p}\right)}{\sin\left(\frac{π}{q}\right)} \right)$。

2. 转换为欧氏距离 #

庞加莱圆盘模型中，原点（记为$O$）到任意点$z$的双曲距离$d$和欧氏距离$r=|z|$满足关系：
$$\tanh\left(\frac{d}{2}\right) = r$$
这里$d$就是刚才求的双曲边长$a$，代入后结合双曲函数恒等式$\tanh\left(\frac{1}{2}\text{arccosh}(x)\right) = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$，可以化简得到欧氏距离$r$：
$$r = \sqrt{ \frac{ \cos\left(\frac{π}{p}\right) - \sin\left(\frac{π}{q}\right) }{ \cos\left(\frac{π}{p}\right) + \sin\left(\frac{π}{q}\right) } }$$
这个式子就是原点到相邻顶点的欧氏距离的最终表达式。

二、高效生成镶嵌所有顶点的算法 #

要生成所有顶点，核心是利用双曲平面的等距变换（旋转、分式线性变换），用**广度优先搜索（BFS）**的方式迭代生成，避免重复和冗余，步骤如下：

• 初始化参数：先计算出上述的欧氏距离$r$，生成原点周围的$q$个相邻顶点——它们分布在以原点为中心、半径$r$的圆上，相邻顶点的角度间隔是$2π/q$（比如第$k$个顶点的角度是$\frac{2πk}{q}$，$k=0,1,...,q-1$）。
• 初始化数据结构：用一个集合存储已生成的顶点（用复数或高精度坐标表示，避免重复），把原点和这$q$个初始顶点加入集合；再用一个队列来管理待处理的顶点，把这$q$个初始顶点加入队列。
• 迭代生成顶点：
  1. 从队列中取出一个顶点$v$。
  2. 找到$v$的一个已知相邻顶点$u$（比如生成$v$的父顶点，比如原点或者之前生成的某个顶点）。
  3. 计算**绕$v$旋转$2π/q$**的双曲等距变换：在庞加莱圆盘中，绕点$c$旋转$\theta$的分式线性变换公式是：
     $$z' = \frac{ e^{iθ}(z - c) + c(1 - e^{iθ}) }{ \overline{c}(1 - e^{iθ})z + 1 - |c|^2 e^{iθ} }$$
     这里$\theta=2π/q$，把$u$代入这个变换，重复$q-1$次，得到$v$的其他$q-1$个相邻顶点。
  4. 对每个生成的新顶点$w$，如果它不在已生成的集合中，就加入集合和队列，继续迭代。

这种BFS的方式能按层级生成所有顶点，不会遗漏也不会重复，对于大多数$p$、$q$组合都很高效。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nonhuman