嗨，你的思路完全没问题！用递推（数学归纳）法分正整数、负整数两种情况来证明是非常合理且直接的方案，我帮你把这个推导过程梳理清楚：

一、先证明当 $n \in \mathbb{Z}, n \geq 0$ 时，$f(x + nt) = f(x)$ #

• 基础步骤：当 $n=0$ 时，$f(x + 0 \cdot t) = f(x)$，显然成立；
• 归纳假设：假设对于任意非负整数 $k$，都有 $f(x + kt) = f(x)$ 成立；
• 归纳递推：当 $n=k+1$ 时，$f(x + (k+1)t) = f((x + kt) + t)$。因为 $f$ 是t周期函数，根据周期函数的定义，对任意实数 $y$ 都有 $f(y + t) = f(y)$，这里令 $y = x + kt$，就有 $f((x + kt) + t) = f(x + kt)$。结合归纳假设 $f(x + kt) = f(x)$，可得 $f(x + (k+1)t) = f(x)$。

由数学归纳法，所有非负整数 $n$ 都满足结论。

二、再证明当 $n \in \mathbb{Z}, n < 0$ 时，$f(x + nt) = f(x)$ #

我们令 $n = -m$，其中 $m$ 是正整数，目标转化为证明 $f(x - mt) = f(x)$：

• 基础步骤：当 $m=1$（即 $n=-1$）时，根据周期函数定义，对任意实数 $y$ 有 $f(y + t) = f(y)$，令 $y = x - t$，则 $f((x - t) + t) = f(x - t)$，也就是 $f(x) = f(x - t)$，即 $f(x - t) = f(x)$，成立；
• 归纳假设：假设对于任意正整数 $k$，都有 $f(x - kt) = f(x)$ 成立；
• 归纳递推：当 $m=k+1$（即 $n=-(k+1)$）时，$f(x - (k+1)t) = f((x - kt) - t)$。根据 $m=1$ 时的结论，$f((x - kt) - t) = f(x - kt)$，结合归纳假设 $f(x - kt) = f(x)$，可得 $f(x - (k+1)t) = f(x)$。

同样由数学归纳法，所有负整数 $n$ 也满足结论。

总结 #

综合以上两种情况，对于任意整数 $n$ 和任意实数 $x$，都有 $f(x + nt) = f(x)$ 成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Melv98