关于虚数i的代数性、无理性及i^i超越性的求证问询
咱们一步一步拆解你的疑问，把每个点理清楚：
1. 先纠正一个关键误区：代数数不是仅限实数！
你提到“代数数通常被认为属于实数集”，这是个常见误解。代数数的定义是：能作为某个非零整系数多项式方程根的复数——不管这个数是实的还是虚的。
那i是不是代数数？当然是！它是整系数方程 x² + 1 = 0 的根，完全符合代数数的定义，这点是确定无疑的。
2. 关于i的“无理性”：术语要严谨
首先明确：无理数的定义是“不能表示为两个整数之比的实数”，它是实数的子集。i是虚数，不是实数，所以它既不是有理数（有理数都是实数），也不属于“无理数”这个范畴。
不过有时候人们会不严谨地用“无理代数数”指代“非有理数的代数数”，如果按这个宽泛的说法，i可以被称为“无理代数数”，但严格来说，我们不会把虚数归为无理数。
3. 用Gelfond-Schneider定理推导i^i的超越性
先把定理内容说清楚：如果 a 是代数数且 a ≠ 0, 1，b 是代数数且不是有理数（即不在有理数集Q中），那么 a^b 是超越数。
套用到i^i上：
- 底数a=i：是代数数，且i≠0、1，满足前提；
- 指数b=i：是代数数，且i不是有理数（因为有理数都是实数），满足“代数非有理数”的前提；
- 所以根据定理，i^i必然是超越数。
4. 关于维基百科的推导：为什么e^(-π/2)能说明超越性？
维基百科用欧拉公式把i^i转化为e^(-π/2)，这个推导是对的：i = e^(iπ/2)，所以i^i = (e^(iπ/2))^i = e^(i*(iπ/2)) = e^(-π/2)。
那为什么这个形式能证明它是超越数？我们可以结合林德曼-魏尔斯特拉斯定理：如果α是非零代数数，那么eα是超越数。反过来，我们知道π是超越数，那eπ是超越数吗？答案是肯定的——用Gelfond-Schneider定理就能证：e^π = (e^(iπ))^(-i) = (-1)^(-i)，这里底数-1是代数数≠0、1，指数-i是代数非有理数，所以(-1)(-i)是超越数，即eπ是超越数。
而e^(-π/2) = (e^π)^(-1/2)，如果一个超越数的有理数次方是代数数，那这个超越数就能表示为代数数的有理数次方，而代数数的有理数次方还是代数数，这就矛盾了。所以e^(-π/2)必然是超越数，也就是i^i是超越数。
5. 你提到的反例：e^(iπ)=-1，为什么不冲突？
这个反例确实存在，但它和Gelfond-Schneider定理的前提完全不沾边：定理要求底数是代数数，指数是代数非有理数，而这里底数e是超越数，指数iπ也是超越数，根本不满足定理的前提条件，所以两者没有矛盾。
6. 关于“iπ是超越数”的推导
你说的这个逻辑是对的：如果iπ是代数数，那根据林德曼定理，e(iπ)应该是超越数，但实际e(iπ)=-1是代数数，所以iπ必然是超越数，这个推导没问题。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者KDP
