首先得说你的思路方向是对的——切立方体过中心的截面得到正方形和圆，这个几何关系确实是解题的关键，只是没把它和体积、表面积的计算串联起来而已，咱们一步步来拆解：

第一步：明确已知条件与几何关系 #

• 球体半径为1，体积是固定的：$V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi$
• 设立方体盒子的边长为$a$，因为球能完美适配进盒子，所以球心和立方体中心重合。此时立方体每个面到球心的距离是$\frac{a}{2}$，而球的半径是1，说明$\frac{a}{2} < 1$（不然球会突出盒子），即$a < 2$。
• 从截面看，正方形（立方体截面）的中心和圆（球体截面）的中心重合，圆和正方形的四条边相交，边上两个交点的距离就是盒子每个面圆孔的直径，结合勾股定理，圆孔半径$r_{hole}$满足：$(\frac{a}{2})^2 + r_{hole}^2 = 1^{2$，也就是$r_{hole}}2 = 1 - \frac{a^2}{4}$。

第二步：建立体积等式求解立方体边长 #

题目说盒子和球体体积相同，这里的盒子体积指的是盒子实体部分的体积——也就是立方体体积减去挖去的6个球缺（每个面挖去的部分是一个球缺，刚好让球嵌进去）的体积。

• 单个球缺的体积公式：$V_{cap} = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$，其中$R=1$（球半径），球缺的高$h = 1 - \frac{a}{2}$（球心到立方体面的距离是$\frac{a}{2}$，所以球缺的高度是球半径减去这个距离）。
• 代入化简后，单个球缺体积：$V_{cap} = \frac{\pi(1 - \frac{a}{2})^2}{3}(2 + \frac{a}{2})$，6个球缺的总体积是$6V_{cap} = \frac{\pi(a-2)^2(a+4)}{4}$。
• 体积等式：立方体体积 - 总球缺体积 = 球体体积，即：
  $$a^3 - \frac{\pi(a-2)^2(a+4)}{4} = \frac{4}{3}\pi$$
• 展开整理后得到三次方程：
  $$3(4-\pi)a^3 + 36\pi a - 64\pi = 0$$
  代入$\pi \approx 3.1416$，通过试根和线性插值可以得到近似解$a \approx 1.671$。

第三步：计算盒子的表面积 #

盒子的表面积需要考虑三部分：

1. 立方体原本的表面积：$6a^2$
2. 减去6个圆孔的面积：每个圆孔面积是$\pi r_{hole}^2$，6个就是$6\pi(1 - \frac{a^2}{4})$
3. 加上6个球缺的曲面（球冠）面积：单个球冠面积是$2\pi Rh = 2\pi(1 - \frac{a}{2})$，6个就是$6\pi(2 - a)$

把这些整合化简后，表面积公式为：
$$S = \frac{3a^2}{2}(4+\pi) + 6\pi(1 - a)$$
代入$a \approx 1.671$，可以算出近似表面积$S \approx 17.26$。

对你尝试思路的补充 #

你找边上两个交点距离的思路是对的，这个距离就是圆孔的直径，但单独这个量不足以求解，需要结合体积等式先算出立方体的边长，再反过来计算表面积。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1238384