嗨，我来帮你理清楚这个问题的解法思路哦～

其实三维空间里的圆柱，本质就是所有到中心轴的距离等于半径r的点的集合，所以核心就是推导任意点到指定直线的距离公式，再让这个距离等于r，整理一下就能得到圆柱方程了。

步骤1：明确给定直线的参数与向量 #

你给出的直线参数方程是：
$$x=x_0+ta\y=y_0+tb\z=z_0+tc$$
这里直线过点$P_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量是$\vec{v}=(a,b,c)$，直线上任意一点都可以表示为$P_0 + t\vec{v}$（t是参数）。

步骤2：点到直线的距离公式 #

空间中任意一点$P(x,y,z)$到这条直线的距离公式是：
$$d = \frac{|\vec{P_0P} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$$
其中$\vec{P_0P}=(x-x_0, y-y_0, z-z_0)$，$\times$代表向量叉乘，$|\cdot|$是向量的模长（也就是长度）。

步骤3：推导圆柱方程 #

我们要求所有到直线距离等于r的点，也就是$d=r$，两边平方去掉模长和分母，得到：
$$|\vec{P_0P} \times \vec{v}|^2 = r^2 \cdot |\vec{v}|^2$$

把这个式子展开计算：

• 先算叉乘$\vec{P_0P} \times \vec{v}$的模长平方：
  $$[(y-y_0)c - (z-z_0)b]^2 + [(x-x_0)c - (z-z_0)a]^2 + [(x-x_0)b - (y-y_0)a]^2$$
• 再算方向向量的模长平方：$|\vec{v}|^2 = a^2 + b^2 + c^2$

把两者代入等式，就得到了以这条直线为中心轴、半径为r的圆柱的通用方程：
$$[(y-y_0)c - (z-z_0)b]^2 + [(x-x_0)c - (z-z_0)a]^2 + [(x-x_0)b - (y-y_0)a]^2 = r^2(a2 + b^2 + c^2)$$

验证你提到的特殊情况 #

你说的中心轴是$x=y=z$的圆柱，其实就是这个通用公式的特例：

• 这条直线过原点$(0,0,0)$，方向向量是$(1,1,1)$，代入通用公式后：
  左边变成$(y-z)^2 + (x-z)^2 + (x-y)^{2$，右边是$r}2(1+1+1)=3r^2$，正好和你给出的方程一致，说明这个通用公式是完全正确的～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vlad