问题背景 #

设△ABC中，角平分线BL平分∠B并交AC于L，已知BL = 3√10，AL = 2，CL = 3，求△ABC的面积。

我自己的常规解法 #

我用了一步步推导的方式解出了答案，过程如下：

• 首先用角平分线定理：$\frac{BA}{AL} = \frac{BC}{CL}$，直接得出 $2BC = 3BA$，把两条边的关系确定下来。
• 对△BLA应用余弦定理：
  $$BA^2 = AL^2 + BL^2 - 2(AL)(BL)\cos\angle{BLA}$$
  整理后得到：
  $$\cos\angle{BLA} = \frac{BA^2 - 94}{-12\sqrt{10}}$$
• 再对△BLC应用余弦定理，注意到∠BLA和∠BLC是邻补角，余弦值互为相反数：
  $$BC^2 = CL^2 + BL^2 - 2(CL)(BL)\cos\angle{BLC}$$
  代入$\cos\angle{BLC} = -\cos\angle{BLA}$后整理得：
  $$-\cos\angle{BLA} = \frac{BC^2 - 99}{-18\sqrt{10}}$$
• 联立上面的等式，再结合$2BC=3BA$的关系，化简后算出$BC=12$，$BA=8$。
• 最后用海伦公式计算△ABC的面积，三边长为8、12、5：
  $$[ABC] = \sqrt{\frac{25}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times \frac{15}{2}} = \fbox{ $\frac{15\sqrt{15}}{4}$}$$

寻求更优解法 #

这个解法虽然能得到正确答案，但整个过程耗时比较久，不管是计算还是前期的思路梳理都要花不少时间。这道题来自数学竞赛，竞赛里每道题的时间都很紧张，肯定得尽量压缩解题时长。所以想请教各位大佬：有没有更快捷的方法来解决这个问题？谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者shrey1