大家好，我正在做陶哲轩实分析275a笔记里的第15道习题，卡在了一些细节上，想和大家请教一下。先把问题的背景、定义和核心诉求理清楚：

问题背景与基础定义 #

• 考虑可测空间 $[0,1]^A$，装备Borel σ-代数。
• 对任意有限子集 $B \subset A$，设 $\mu_B$ 是 $[0,1]^B$（同样装备Borel σ-代数）上的概率测度。
• 对于 $[0,1]^A$ 中的初等集 $E = \pi_B^{-1}(E_B)$（其中 $B$ 是 $A$ 的有限子集，$E_B \subset [0,1]^B$ 是Borel集），我们定义初等测度 $\mu_0(E)$ 为：
  $$\mu_0( \pi_B^{-1}(E_B) ) := \mu_B( E_B )$$
• 对于 $[0,1]^A$ 中的任意子集 $E$（不一定是Borel集），其外测度 $\mu^(E)$ 定义为：
  $$\mu^(E) := \inf { \sum_{i=1}^\infty \mu_0(E_i): E_i \text{ 是覆盖 } E \text{ 的开初等集列} }$$

核心问题 #

若 $E$ 是初等集，证明 $\mu^*(E) = \mu_0(E)$。（提示：先证明 $E$ 是紧集的情况——要充分利用 $\mu_B$ 的正则性，再通过进一步依赖正则性推广到一般情况。）

我的具体困惑 #

我现在卡在一个看似基础的点上：按照题目里的设定，紧集属于初等集，也就是说，如果 $E \subset [0,1]^A$ 是紧集，我需要找到有限子集 $B \subset A$ 和Borel集 $E_B \subset [0,1]^B$，使得 $E = \pi_B^{-1}(E_B)$（这里 $\pi_B$ 是从 $[0,1]^A$ 到 $[0,1]^B$ 的投影映射）。但我想不通怎么构造这样的 $B$ 和 $E_B$，这直接影响了我用提示里的正则性去证明紧集的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者shark