嗨，我来帮你梳理一下这个范数等价性的证明问题～

首先纠正一个小细节：你写的无穷范数定义里漏了绝对值哦，正确的定义应该是 $\lVert x\rVert_{\infty}=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\big{|x_i|\big}$，这个细节很关键，不然当向量分量为负数时就会出现逻辑漏洞啦。

接下来解决你困惑的左边不等式 $\lVert x\rVert_{\infty}\leqslant\lVert x\rVert_2$ 的证明：你想的方向是对的，但严谨的证明里不能直接跳过推导步骤，得把逻辑链条理清楚，具体可以这样做：

设 $k$ 是满足 $|x_k| = \max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}|x_i| = \lVert x\rVert_{\infty}$ 的下标（也就是找到向量中绝对值最大的那个分量）。观察2-范数的平方：$\lVert x\rVert_2^2 = \sum_{i=1}^n |x_i|^2$，这个求和式里每一项都是非负的，而且至少包含 $|x_k|^2 = \lVert x\rVert_{\infty}^2$ 这一项，其余项也都是大于等于0的，因此：
$$\sum_{i=1}^n |x_i|^2 \geqslant |x_k|^2 = \lVert x\rVert_{\infty}^2$$

由于平方根函数在非负实数域上是单调递增的，我们对两边同时开平方，不等号方向保持不变，就得到：
$$\sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2} \geqslant \lVert x\rVert_{\infty}$$
也就是 $\lVert x\rVert_2 \geqslant \lVert x\rVert_{\infty}$，这样就严谨地证明了左边的不等式。

关于你问的“能不能直接写那个式子而不证明”：虽然这个结论看起来很直观，但如果是作业、论文这类需要严谨论证的场景，最好还是把上面的推导步骤写出来。核心原因是要让读者明白“最大值为什么会小于等于平方和的平方根”——本质是平方和包含了最大值的平方，再加上其他非负项，所以平方和必然大于等于最大值的平方，开方后就得到了我们要的结论。

另外还要提一句，你原问题里写的右边不等式 $\lVert x\rVert_2\leqslant\lVert x\rVert_\infty$ 其实是笔误哦，正确的结论应该是 $\lVert x\rVert_2\leqslant\sqrt{n}\lVert x\rVert_{\infty}$。推导这个结论的话，只需要把求和式里的每个 $|x_i|$ 都替换成最大值 $\lVert x\rVert_{\infty}$，就能得到：
$$\sum_{i=1}^n |x_i|^2 \leqslant \sum_{i=1}^n \lVert x\rVert_{\infty}^2 = n\lVert x\rVert_{\infty}^2$$
开平方后就得到正确的右边不等式啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Daniel Fu