嘿，这个问题问得特别好——确实，这两个整数不变量之间有紧密的理论联系，但它们并不总是相等，不过在很多经典情形下能看到明确的公式关联，我来给你拆解一下：

首先先明确两个不变量的定义：

• $\int_X c_1(K_X)^{n$：这是典范线丛$K_X$的第一陈类的n次相交数，也常记为$K_X}n$，是X的代数几何不变量，反映了典范丛的“大小”。
• 拓扑欧拉示性数$\chi_{\text{top}}(X)$：这是X作为拓扑流形的欧拉示性数，等于其同调群秩的交替和，即$\chi_{\text{top}}(X) = \sum_{i=0}^{2n} (-1)^i \dim H_i(X, \mathbb{Z})$，也可以表示为X的欧拉类的积分$\int_X e(X)$，其中$e(X)$是切丛$TX$的最高陈类$c_n(TX)$。

核心联系：陈类的关系与Hirzebruch-Riemann-Roch定理 #

首先注意到，典范线丛$K_X = \bigwedge^n TX^*$（切丛的n次外对偶丛），因此它的第一陈类满足$c_1(K_X) = -c_1(TX)$（其中$c_1(TX)$是切丛的第一陈类）。由此可得：
$$\int_X c_1(K_X)^n = (-1)^n \int_X c_1(TX)^n$$

而拓扑欧拉示性数$\chi_{\text{top}}(X) = \int_X c_n(TX)$，这和$\int_X c_1(TX)^n$是切丛陈类的不同组合，一般情况下并不相等，我们可以用几个经典例子验证：

• 复曲线（n=1）：此时$K_X^1 = 2g-2$（g是曲线亏格），而$\chi_{\text{top}}(X) = 2-2g$，两者差一个负号，即$K_X^1 = -\chi_{\text{top}}(X)$。
• 复射影平面$\mathbb{P}^2$（n=2）：$K_X = \mathcal{O}(-3)$，所以$K_X^2 = 9$；而$\chi_{\text{top}}(\mathbb{P}^2) = 3$，显然不相等。
• K3曲面（n=2，Calabi-Yau曲面）：$K_X$是平凡丛，所以$K_X^2=0$，但$\chi_{\text{top}}(K3)=24$，完全不同。

不过，这两个不变量可以通过Hirzebruch-Riemann-Roch定理被统一到更广泛的公式中。对于X的结构层$\mathcal{O}_X$，HRR定理给出：
$$\chi(X, \mathcal{O}_X) = \int_X \text{ch}(\mathcal{O}_X) \wedge \text{td}(X)$$
其中$\text{ch}$是陈特征，$\text{td}$是托德类。展开后，这个公式会把$\chi(X, \mathcal{O}X)$（上同调群的交替和）和包括$c_1(TX)^n$、$c_n(TX)$在内的所有陈类组合联系起来，而$\chi{\text{top}}(X)$也可以通过陈类的组合表示，因此两者最终都属于流形的陈类不变量体系，但直接相等的情况非常罕见。

总结 #

你的猜测方向很自然——毕竟都是整数取值的全局不变量，但实际它们通常不相等，不过有深刻的代数拓扑和代数几何定理将它们纳入同一个理论框架中。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Doug