嗨，我来帮你把这个问题拆明白～你会解齐次拉普拉斯方程，但卡在非齐次泊松方程这里很正常，咱们一步步来：

一、为什么$\varphi(x,y)$可以展开成$\sum_{m=1}^{{\infty}\sum_{n=1}}{\infty}A_{mn}\sin{m\pi x}\sin{n\pi y}$？ #

这其实是二维傅里叶正弦级数的应用，核心原因是：

• 你的问题里边界条件是齐次Dirichlet条件（$u(x,y)=0$在$\partial D$上），对应的拉普拉斯算子的特征函数就是$\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$（$m,n=1,2,\dots$）。
• 这组特征函数在单位正方形$D=[0,1]\times[0,1]$上是正交且完备的：
  • 正交性：$\int_0^1\int_01 \sin(m\pi x)\sin(n\pi y)\sin(p\pi x)\sin(q\pi y)dxdy = 0$，只要$m\neq p$或$n\neq q$；
  • 完备性：任何在$D$上连续、且在边界上取值为0的函数（比如你的$\varphi(x,y)=xy(1-x)(1-y)$，显然满足），都可以用这组特征函数的线性组合（也就是二重级数）来表示，就像一维函数可以用傅里叶级数展开一样。

系数$A_{mn}$的计算依赖正交性，公式是：
$$A_{mn}=4\int_0^1\int_01 \varphi(x,y)\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)dxdy$$
这里的系数4是因为特征函数的模长平方是$\int_0^1\int_01 \sin^2(m\pi x)\sin^2(n\pi y)dxdy = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，所以要乘以4来归一化。

二、怎么用这个展开式解非齐次泊松方程？ #

咱们用分离变量法+特征函数展开的思路，步骤很清晰：

1. 假设解的形式 #

因为边界条件是$u=0$在$\partial D$上，而$\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$在边界上刚好为0，所以我们可以假设解$u(x,y)$也展开成同样的特征函数级数：
$$u(x,y)=\sum_{m=1}^{{\infty}\sum_{n=1}}{\infty}B_{mn}\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$$
这样一来，解自然满足边界条件，不用额外处理边界问题。

2. 代入泊松方程计算 #

把$u$的展开式代入泊松方程$\Delta u = \varphi(x,y)$：
首先计算拉普拉斯算子作用在每一项上：
$$\Delta\left[\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)\right] = \frac{\partial^2}{\partial x^2}\sin(m\pi x)\sin(n\pi y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$$
分别求二阶导：
$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}\sin(m\pi x) = -(m\pi)^2\sin(m\pi x),\quad \frac{\partial^2}{\partial y^2}\sin(n\pi y) = -(n\pi)^2\sin(n\pi y)$$
所以：
$$\Delta\left[\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)\right] = -\pi^2(m2+n^2)\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$$

那么$\Delta u$的展开式就是：
$$\Delta u = \sum_{m=1}^{{\infty}\sum_{n=1}}{\infty}B_{mn}\times\left(-\pi^2(m2+n^2)\right)\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$$

而方程右边的$\varphi(x,y)$已经展开成$\sum_{m=1}^{{\infty}\sum_{n=1}}{\infty}A_{mn}\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$，所以两边对应项的系数必须相等：
$$-\pi^2(m2+n^2)B_{mn} = A_{mn}$$

3. 求解系数$B_{mn}$ #

从上面的等式直接解出：
$$B_{mn} = -\frac{A_{mn}}{\pi^2(m2+n^2)}$$

4. 得到最终解 #

把$B_{mn}$代入$u$的展开式，再把之前算出的$A_{mn}$代入，就得到了泊松方程的解：
$$u(x,y) = -\sum_{m=1}^{{\infty}\sum_{n=1}}{\infty}\frac{A_{mn}}{\pi^2(m2+n^2)}\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$$

对于你的$\varphi(x,y)=xy(1-x)(1-y)$，可以直接计算$A_{mn}$：
$$A_{mn}=4\int_0^1\int_01 xy(1-x)(1-y)\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)dxdy$$
这个积分可以拆成两个一维积分的乘积：
$$A_{mn}=4\left(\int_0^1 x(1-x)\sin(m\pi x)dx\right)\left(\int_0^1 y(1-y)\sin(n\pi y)dy\right)$$
计算一维积分$\int_0^1 t(1-t)\sin(k\pi t)dt$，可以用分部积分算出结果是$\frac{4(-1)^{{k+1}}{(k\pi)}3}$（$k=m,n$），所以最终$A_{mn}=\frac{64(-1)^{m+n}}{(m3n^3\pi6)}$，代入$B_{mn}$后就能得到具体的解啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cunyi Nan