各位好，我最近在梳理拓扑、度量空间以及赋范向量空间里的「开」「闭」相关概念，有些地方理不太清楚，想请教大家：

先说说我目前的理解，看看有没有偏差：

• 拓扑空间里，我们直接指定拓扑的元素为开集；而度量空间的拓扑是基于给定度量定义的开集所构成的；赋范向量空间则可以通过范数诱导出一个度量，这样它就具备了度量空间的结构，进而拥有对应的拓扑。

接下来是我困惑的点：

• 拓扑里的闭集定义是「补集为开集的集合」，度量空间里闭集则是「包含所有收敛序列极限点的集合」。但在涉及赋范向量空间的内容里（比如里斯引理中提到的「闭子空间」），我之前搞不清「闭向量空间」的具体定义——我之前以为这个词是指空间对加法和数乘运算保持封闭，但感觉这和拓扑意义上的闭集不是同一个概念？

最后还有几个想确认的问题：

• 在拓扑空间、度量空间、赋范向量空间这些结构里，「开」和「闭」的概念是否等价？
• 维度会不会对这些概念产生影响？比如有限维空间里所有范数都是等价的，是不是意味着不管用哪个诱导度量，得到的开集都是一样的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Madder