嘿，我来帮你把这个双重极限的事儿掰扯明白～

首先，你写的这个$\lim_{x \to 1^-} \lim_{n\to \infty} \frac{1}{1+x^n}(x>0)$是累次极限，简单说就是有明确先后顺序的双重极限：先固定x（而且因为是x→1⁻，所以这个x始终满足0<x<1），先算内层n→∞的极限，再算外层x→1⁻的极限，完全可以直接按这个顺序求解的。

具体步骤走一遍你就懂了：

• 第一步，当x在(0,1)区间里时，x是小于1的正数，当n趋向于无穷大时，xⁿ会无限趋近于0（比如0.9的100次方就已经非常接近0了），所以内层极限$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+x^n} = \frac{1}{1+0} = 1$。
• 第二步，现在我们要算外层的$\lim_{x\to1^-}1$，这就很简单了——常数函数的极限就是它本身，结果就是1。

其实这个结果和你通过分段函数求左极限的结论完全一致，本质上就是把分段函数的推导过程用累次极限的形式写出来了。这里要注意哦，这种有先后顺序的累次极限，和让x→1⁻与n→∞同时发生的二重极限不是一回事儿，但在这个问题里，累次极限的计算是完全合法且直接的，因为内层极限在(0,1)上是稳定收敛的，不会出现矛盾的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者billwang