关于你的核心疑问解答 #

首先明确结论：一般情况下，嵌入映射的斯通-切赫延拓$\beta f$不一定是嵌入。给你举个直观的反例就能明白：

取$X=(0,1)$（赋予欧几里得拓扑），$Y=[0,1]$（同样赋予欧几里得拓扑），$f$是$(0,1)$到$[0,1]$的恒等嵌入。

• 因为$Y$是紧豪斯多夫空间，它的斯通-切赫紧化$\beta Y$就是$Y$自身；
• 而$\beta X=\beta(0,1)$是$(0,1)$的斯通-切赫紧化，它的规模远大于$[0,1]$——$\beta(0,1)\setminus(0,1)$中包含不可数多个点，这些都是$(0,1)$的超滤极限点；
• 此时的延拓$\beta f:\beta(0,1)\to[0,1]$会把$\beta(0,1)\setminus(0,1)$里的所有点都映射到${0,1}$这两个点上，显然$\beta f$不是单射，自然不可能是嵌入。

至于你能证明的特殊情况，其实对应了$f(X)$是$Y$中的**$C^*$-嵌入**（也就是你说的每个从$f(X)$到$\mathbb{R}$的连续函数都能延拓到$Y$）。这种情况下，$f(X)$的斯通-切赫紧化$\beta(f(X))$可以自然嵌入到$\beta Y$中，而$\beta f$会把$\beta X$同胚映射到$\beta(f(X))$，所以此时$\beta f$确实是嵌入，这也是你的证明能成立的原因。

斯通-切赫紧化入门资料推荐 #

给你推荐几个适合入门的资源：

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  • 《拓扑学（第二版）》（James Munkres 著）：这本书里有专门章节讲解斯通-切赫紧化，从存在性构造到核心性质都讲得细致易懂，例子也很直观，是入门首选。
  • 《General Topology》（John L. Kelley 著）：拓扑学的经典参考书，对斯通-切赫紧化的处理更偏向公理刻画和泛函视角，适合想深入理解其本质的读者。
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  • 《Stone-Čech Compactifications》（Russell C. Walker 著）：这本是专门聚焦斯通-切赫紧化的小册子，内容紧凑，覆盖了很多进阶性质和经典例子，适合在掌握基础后进一步拓展。
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备注：内容来源于stack exchange，提问作者User271828