我们需要证明，满足二阶微分方程
$$2\sinh(x)\frac{\Bbb d^2y}{\Bbb dx^2}-2\cosh(x)\frac{\Bbb dy}{\Bbb dx}+y\sinh^3(x)=0$$
以及初始条件 $y(1)=0,\ y(2)=2$ 的解为
$$y=\frac{2\sin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(\cosh(x)-\cosh(1))\right)}{\sin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(\cosh(2)-\cosh(1))\right)}.$$

我的尝试过程 #

我做了变量替换 $t=\sinh(x)$，且 $\frac{\Bbb dt}{\Bbb dx}=\cosh(x)$，然后推导了二阶导数：
\begin{align}
\frac{\Bbb d^2y}{\Bbb dx^2} &= \frac{\Bbb d}{\Bbb dx} \left(\frac{\Bbb dt}{\Bbb dx}\right) \ &= \frac{\Bbb d}{\Bbb dx}(\cosh(x)) \ &= \frac{\Bbb dt}{\Bbb dx} \ &= \cosh(x),
\end{align}
然后一阶导数推导：
\begin{align}
\frac{\Bbb dy}{\Bbb dx} &= \frac{\Bbb dy}{\Bbb dt} \cdot \frac{\Bbb dt}{\Bbb dx} \ &= \frac{\Bbb dy}{\Bbb dt} \cdot \cosh(x) \ &= t\frac{\Bbb dy}{\Bbb dt}.
\end{align}
代入原方程后得到：
$$2t^2 \frac{\Bbb d^2y}{\Bbb dt^2} -2t\cosh(x) \frac{\Bbb dy}{\Bbb dt} +y\sinh^3(x)=0 \ \implies t^2 \frac{\Bbb d^2y}{\Bbb dt^2} -t\cosh(x) \frac{\Bbb dy}{\Bbb dt} +\frac{y}{2}\sinh^3(x)=0.$$
现在卡住了，不知道接下来该怎么做，想问问这个变量替换的思路对不对？或者有没有更好的方法？

问题分析与正确推导步骤 #

首先，你选的变量替换 $t=\sinh(x)$ 其实不是最优的，观察原方程的结构，我们可以试试另一个更合适的替换：令 $u = \cosh(x)$，这个替换能快速消去方程中的交叉项，让推导变得简单，具体步骤如下：

1. 计算导数关系

   • $\frac{du}{dx} = \sinh(x)$，$\frac{d^2u}{dx2} = \cosh(x)$
   • 一阶导数：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \sinh(x) \frac{dy}{du}$
   • 二阶导数：
     \begin{align}
     \frac{d^2y}{dx2} &= \frac{d}{dx}\left(\sinh(x)\frac{dy}{du}\right) \
     &= \cosh(x)\frac{dy}{du} + \sinh(x) \cdot \frac{d^2y}{du2} \cdot \frac{du}{dx} \
     &= \cosh(x)\frac{dy}{du} + \sinh^2(x)\frac{d2y}{du^2}
     \end{align}

2. 代入原方程化简
   把一阶、二阶导数代入原方程：
   $$2\sinh(x)\left[\cosh(x)\frac{dy}{du} + \sinh^2(x)\frac{d2y}{du^2}\right] - 2\cosh(x)\left[\sinh(x)\frac{dy}{du}\right] + y\sinh^3(x) = 0$$

展开后你会发现，第一项里的 $2\sinh(x)\cosh(x)\frac{dy}{du}$ 和第三项的 $-2\sinh(x)\cosh(x)\frac{dy}{du}$ 刚好抵消，剩下的部分为：
$$2\sinh^3(x)\frac{d2y}{du^2} + y\sinh^3(x) = 0$$

因为在区间 $x\in[1,2]$ 内，$\sinh(x) > 0$，所以两边同时除以 $\sinh^3(x)$，得到一个标准的二阶常系数齐次线性微分方程：
$$2\frac{d^2y}{du2} + y = 0$$

3. 求解简化后的方程
   这个方程的特征方程为 $2r^2 + 1 = 0$，根为 $r = \pm \frac{i}{\sqrt{2}}$，因此通解为：
   $$y = A\sin\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + B\cos\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)$$

把 $u = \cosh(x)$ 代回，得到关于 $x$ 的通解：
$$y = A\sin\left(\frac{\cosh(x)}{\sqrt{2}}\right) + B\cos\left(\frac{\cosh(x)}{\sqrt{2}}\right)$$

4. 应用初始条件确定常数

• 代入 $y(1) = 0$：
  $$0 = A\sin\left(\frac{\cosh(1)}{\sqrt{2}}\right) + B\cos\left(\frac{\cosh(1)}{\sqrt{2}}\right)$$
  解得 $B = -A\tan\left(\frac{\cosh(1)}{\sqrt{2}}\right)$

• 代入 $y(2) = 2$，并把 $B$ 代入通解：
  $$2 = A\sin\left(\frac{\cosh(2)}{\sqrt{2}}\right) - A\tan\left(\frac{\cosh(1)}{\sqrt{2}}\right)\cos\left(\frac{\cosh(2)}{\sqrt{2}}\right)$$
  提取 $A$ 并利用正弦差角公式 $\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$ 化简，最终得到：
  $$A = \frac{2\cos\left(\frac{\cosh(1)}{\sqrt{2}}\right)}{\sin\left(\frac{\cosh(2)-\cosh(1)}{\sqrt{2}}\right)}$$

5. 整理得到最终解
   把 $A$ 和 $B$ 代回通解，再次利用正弦差角公式化简，就能得到：
   $$y=\frac{2\sin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(\cosh(x)-\cosh(1))\right)}{\sin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(\cosh(2)-\cosh(1))\right)}$$
   （注：你给出的解里分母的系数写成了 $\frac{1}{2}$，这应该是笔误，正确的系数是 $\frac{1}{\sqrt{2}}$）

关于你之前变量替换的问题 #

你之前的推导犯了一个关键错误：把 $\frac{d^2y}{dx2}$ 错误地当成了 $\frac{d^2t}{dx2}$，正确的二阶导数应该是对 $\frac{dy}{dx} = \cosh(x)\frac{dy}{dt}$ 再次求导，而不是对 $\frac{dt}{dx}$ 求导。即使纠正这个错误，用 $t=\sinh(x)$ 替换后的方程仍然会含有 $\sqrt{1+t^2}$（即 $\cosh(x)$），方程会变得更复杂，所以这个替换不是最优选择，换成 $u=\cosh(x)$ 才是正确的方向。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Purity