看起来你遇到的是一个带概率归一化约束的非线性方程组问题，这类问题在概率建模、统计推断场景里很常见，我给你梳理几个实用的入手方向：

一、先处理自由度的冗余性 #

这类方程组天生存在缩放自由度，这是解集合的一个核心特征：

• 如果把所有$a_i$乘以任意正实数$k$，同时把所有$b_j$除以$k$，$a_i b_j$的乘积保持不变，原方程依然成立；
• 如果把所有$c_i$乘以任意正实数$m$，$\frac{c_i}{c_i + c_j}$的比值也不会变化（分子分母同乘$m$后约去）。

所以解集合必然是由这些等价类构成的——你可以先固定一些变量来减少求解的复杂度，比如令$\sum_{i} a_i = 1$，或者指定某个$c_k = 1$（比如选索引1的$c_1=1$），这样就能把自由变量的数量降下来。

二、通过比例关系消元，转化为线性/低维问题 #

对于任意三个不同的索引$i,k,j$，我们可以对比$P_{ij}$和$P_{kj}$的表达式：
$$
P_{ij} = a_i b_j \frac{c_i}{c_i + c_j}, \quad P_{kj} = a_k b_j \frac{c_k}{c_k + c_j}
$$
把两式相除，$b_j$会直接消去，得到：
$$
\frac{P_{ij}}{P_{kj}} = \frac{a_i c_i (c_k + c_j)}{a_k c_k (c_i + c_j)}
$$
整理一下就能得到关于$c_j$的线性方程：
$$
\frac{P_{ij} a_k c_k}{P_{kj} a_i c_i} (c_i + c_j) = c_k + c_j
$$
将含$c_j$的项移到一侧后，就能用$a_i,a_k,c_i,c_k$表示出$c_j$。如果我们固定一部分$a$和$c$的变量（比如利用前面说的自由度固定$c_1=1$，$a_1=1$），就能递推求出所有其他的$c_j$和$a_i$。

三、利用归一化条件锁定剩余变量 #

当你通过上面的比例关系把大部分变量用少数几个自由变量表示后，就可以代入概率的归一化约束$\sum_{i \neq j} P_{ij} = 1$，得到一个关于剩余自由变量的方程。解这个方程就能得到具体的候选解，甚至可以判断解是否存在。

四、解的存在性判断：必要条件与构造验证 #

必要条件 #

如果原方程组存在解，那么对于任意四个不同的索引$i,k,j,l$，必须满足：
$$
\frac{P_{ij} P_{kl}}{P_{kj} P_{il}} = \frac{(c_k + c_j)(c_i + c_l)}{(c_i + c_j)(c_k + c_l)}
$$
这个等式是从前面的比例关系推导出来的——如果给定的$P$不满足这个交叉比例条件，那方程组肯定没有解。

构造验证法 #

你可以尝试先设定一组正数$c_i$（因为$P_{ij}$是正概率，所以$a_i,b_j,c_i$都必须为正），然后：

1. 计算$a_i = \frac{1}{B} \sum_{j \neq i} P_{ij} \frac{c_i + c_j}{c_i}$，其中$B = \sum_{j \neq i} b_j$（对所有$i$，$B$是同一个常数）；
2. 再计算$b_j = \frac{1}{A} \sum_{i \neq j} P_{ij} \frac{c_i + c_j}{c_i}$，其中$A = \sum_{i \neq j} a_i$；
3. 最后代入原方程验证是否成立。如果成立，就说明存在解；如果多组$c_i$尝试后都不成立，结合前面的必要条件，就能判断解不存在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者vienna1982