我最近在琢磨这么一个几何问题：当点P是正三角形ABC所在平面上的点，且P不在△ABC的外接圆上时，PA、PB、PC这三条线段里任意两条的和都大于第三条——换句话说，它们能构成某个三角形的三边。

一开始我是这么尝试分析的：

• 先假设点C在AB线段的垂直平分线的一侧，且偏向A点，那显然CB > CA。接着我把P放在AC线段的外侧，这时候PB是三条线段里最长的，然后分情况讨论：
  • 第一种情况：PB < AB。这时候很直观，PA + PC > AC = AB > PB，直接就证出来了。
  • 第二种情况：PB > AB，且PA ≥ AB或者PC ≥ AB。我假设PA < PC，因为PA + AB > PB，而PC > AB，所以PA + PC > PB也成立。
  • 第三种情况：PB > AB，同时PA < AB且PC < AB。到这儿我就卡壳了，怎么都证不出来。

后来在Calvin Lin的帮助下，我终于找到了解题思路，用托勒密定理就行：

托勒密定理：任意四边形ABCD中，AB·CD + AD·BC ≥ AC·BD，等号当且仅当四边形内接于圆时成立。

对于正三角形ABC和不在其外接圆上的点P，我们把这四个点看作四边形（不管P在什么位置，都能构成四边形），代入托勒密定理就有：AB·PC + BC·PA > AC·PB。因为△ABC是正三角形，AB=BC=AC，两边同时除以这个相等的边长，就得到了PC + PA > PB。同理，另外两个方向的不等式（PA + PB > PC、PB + PC > PA）也能用同样的方法证明，这样就完整证明了PA、PB、PC任意两条之和都大于第三条，能构成三角形。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者qianyx21