Hey there! 看你卡在这个积分问题上有一阵了，我来帮你捋捋怎么一步步得到最终答案$2-\pi$。

其实不用着急拆分积分，咱们先从分部积分法入手，这是解决这类含$x$乘三角函数积分的常用思路：

第一步：应用分部积分法 #

分部积分公式是$\int u , dv = uv - \int v , du$，咱们这么选$u$和$dv$：

• 设$u = x$，则$du = dx$
• 设$dv = \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2} dx$，先求$v$的不定积分：
  令$t = 1 + \sin x$，则$dt = \cos x dx$，代入得$\int \frac{dt}{t^2} = -\frac{1}{t} = -\frac{1}{1+\sin x}$，也就是$v = -\frac{1}{1+\sin x}$

把这些代入分部积分公式，原积分就变成：
$$
\int_{0}^{\pi} \frac{x \cos x}{(1+\sin x)^2} dx = \left. -\frac{x}{1+\sin x} \right|{0}^{\pi} + \int{0}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x} dx
$$

第二步：计算分部后的第一项 #

代入上下限算定值：

• 上限$\pi$：$-\frac{\pi}{1+\sin \pi} = -\frac{\pi}{1+0} = -\pi$
• 下限$0$：$-\frac{0}{1+\sin 0} = 0$
  所以第一项的结果是$-\pi - 0 = -\pi$

第三步：处理剩余的积分项 #

对于$\int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x} dx$，咱们用分母有理化的方法：
分子分母同乘$1 - \sin x$，化简后：
$$
\frac{1}{1+\sin x} \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \sin x} = \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} = \sec^2 x - \sec x \tan x
$$

现在积分就变成了容易计算的形式：
$$
\int_{0}^{\pi} (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx = \left. (\tan x - \sec x) \right|_{0}^{\pi}
$$

代入上下限计算：

• 上限$\pi$：$\tan \pi - \sec \pi = 0 - (-1) = 1$
• 下限$0$：$\tan 0 - \sec 0 = 0 - 1 = -1$
  所以这部分的结果是$1 - (-1) = 2$

第四步：合并结果 #

把两项加起来：$-\pi + 2 = 2 - \pi$，正好就是题目给出的最终答案！

另外你尝试拆分积分的思路其实也可行，只是可能在变量替换时的符号或上下限处理出了小问题。比如对$\int_{\pi/2}^{\pi}$的部分做$x = \pi - t$的替换，仔细处理符号和上下限后，最终也能得到同样的结果，感兴趣的话可以再试一遍~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rishi Mulay