Hi，我尝试解决这道概率题，但总是在不经意间出错，麻烦帮忙温柔地指出问题所在🙏

题目：一个盒子里有$b$个红球、$2b$个白球和$3b$个蓝球，其中$b$是正整数。随机从盒子里取出3个球，无放回抽取。设事件$B$为“取出的三个球中没有两个是蓝球”（也就是最多一个蓝球），证明对于任意$b$，$P(B)=1/2$。

我的尝试过程 #

我是这么想的：因为是无放回抽取，所求概率应该等于「1个蓝球+2个非蓝球」的概率加上「0个蓝球+3个非蓝球」的概率，也就是：
$$
3 \cdot P(B, \text{not }B, \text{not }B) + P(\text{not }B, \text{not }B, \text{not }B)
= \ \qquad\qquad 3\cdot \frac{3b}{6b}\cdot \frac{3b-1}{6b-1}\cdot \frac{3b-2}{6b-2} + \frac{3b}{6b}\cdot \frac{3b}{6b-1}\cdot \frac{3b-1}{6b-1}.
$$

但这个结果和预期的1/2不一样，麻烦帮我找找哪里错了。

错误排查与修正 #

你的思路方向完全没问题——事件$B$确实是「最多1个蓝球」，拆成0个蓝球和1个蓝球两种情况计算是正确的，但你把蓝球和非蓝球的数量搞混了，导致计算式出错：

1. 关于「1个蓝球+2个非蓝球」的概率

非蓝球的总数是$b+2b=3b$个，蓝球是$3b$个。考虑顺序的话，蓝球可能出现在第1、2、3次抽取中的任意一次，共3种排列，每种排列的概率应该是：
$\frac{\text{蓝球数}}{\text{总球数}} \times \frac{\text{非蓝球数}}{\text{剩余总球数}} \times \frac{\text{剩余非蓝球数}}{\text{剩余总球数}}$
也就是：$\frac{3b}{6b} \cdot \frac{3b}{6b-1} \cdot \frac{3b-1}{6b-2}$
你之前把非蓝球的数量写成了$3b-1$、$3b-2$，这是错把蓝球的剩余数当成非蓝球的数量啦！

2. 关于「0个蓝球+3个非蓝球」的概率

这种情况是连续抽3个非蓝球，概率应该是：
$\frac{3b}{6b} \cdot \frac{3b-1}{6b-1} \cdot \frac{3b-2}{6b-2}$
你之前的式子$\frac{3b}{6b}\cdot \frac{3b}{6b-1}\cdot \frac{3b-1}{6b-1}$明显错误，第二步剩余非蓝球数是$3b-1$而非$3b$，第三步总球数是$6b-2$而非$6b-1$。

正确的计算式与化简

把正确的两项加起来：
$$
P(B) = 3 \cdot \left( \frac{3b}{6b} \cdot \frac{3b}{6b-1} \cdot \frac{3b-1}{6b-2} \right) + \left( \frac{3b}{6b} \cdot \frac{3b-1}{6b-1} \cdot \frac{3b-2}{6b-2} \right)
$$

提取公因子$\frac{3b(3b-1)}{6b(6b-1)(6b-2)}$后：
$$
P(B) = \frac{3b(3b-1)}{6b(6b-1)(6b-2)} \left[ 3 \times 3b + (3b-2) \right]
$$

计算括号内的部分：$9b + 3b -2 = 12b -2 = 2(6b -1)$，代入后约分：
$$
P(B) = \frac{3b(3b-1) \cdot 2(6b-1)}{6b(6b-1)(6b-2)} = \frac{3b-1}{2(3b-1)} = \frac{1}{2}
$$

这样就得到了题目要求的结果，对任意正整数$b$都成立~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fragzz