嘿，我来帮你搞定这个代数题！你提到用(a+b+c)²的思路没走通，那咱们换个更巧妙的变量替换方法，绝对能轻松解开这个方程组～

首先，咱们做个变量替换简化原方程组：
令 ( x = a+b )，( y = b+c )，( z = c+a )，这样原题目里的三个方程就变成了：
$$
\begin{cases}
x \cdot z = 30 \
x \cdot y = 35 \
y \cdot z = 42
\end{cases}
$$

接下来，把这三个方程的左右两边分别相乘，得到：
$$(x \cdot y \cdot z)^2 = 30 \times 35 \times 42$$

先计算右边的乘积：( 30 \times 35 = 1050 )，再算 ( 1050 \times 42 = 44100 )，而44100刚好是( 210^2 )，所以：
$$x \cdot y \cdot z = \pm 210$$

现在咱们分别求出x、y、z的具体值：

• 当 ( x \cdot y \cdot z = 210 ) 时：
  • ( x = \frac{210}{y \cdot z} = \frac{210}{42} = 5 )
  • ( y = \frac{210}{x \cdot z} = \frac{210}{30} = 7 )
  • ( z = \frac{210}{x \cdot y} = \frac{210}{35} = 6 )
• 当 ( x \cdot y \cdot z = -210 ) 时：
  • ( x = \frac{-210}{42} = -5 )
  • ( y = \frac{-210}{30} = -7 )
  • ( z = \frac{-210}{35} = -6 )

最后，咱们来算 ( a+b+c )：因为 ( x + y + z = (a+b) + (b+c) + (c+a) = 2(a+b+c) )，所以：
$$a+b+c = \frac{x+y+z}{2}$$

代入刚才得到的x、y、z的值：

• 当x=5、y=7、z=6时，( a+b+c = \frac{5+7+6}{2} = 9 )
• 当x=-5、y=-7、z=-6时，( a+b+c = \frac{-5-7-6}{2} = -9 )

所以最终 ( a+b+c ) 的值是 9 或者 -9。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Megharaj Khuntia