最近帮学生辅导时碰到一道期中附加题，难度比常规练习跨度大很多，加上我好些年没怎么碰三角恒等式了，一开始确实被难住了。先把题目完整表述出来：

在三角形ABC中，已知$2 \sin(A) = 3 \tan(B)$，且$\frac{2\cos(C)}{3} = \frac{2 \cos(A)}{3} + \sin^{2}(C) + \cos^2(C) - \sec^2B$，求解角B。

我的初步推导 #

首先从第一个条件，我得到：
$\tan(B) = \frac{2}{3} \sin(A)$

然后利用三角恒等式$\sec^2(x) = \tan^2 x + 1$，以及$\sin^{2}(C) + \cos^2(C)=1$，对第二个等式进行化简：
$$
\begin{align*}
\frac{2\cos(C)}{3} &= \frac{2 \cos(A)}{3} + (\sin^{2}(C) + \cos^2(C)) - \sec^2B \
&= \frac{2 \cos(A)}{3} + 1 - (\tan^2 B + 1) \
&= \frac{2 \cos(A)}{3} - \tan^2 (B)
\end{align*}
$$

到这一步我就彻底卡住了，各种尝试的推导都越算越复杂，直觉告诉我应该把式子统一到单个变量上，但就是找不到有效的突破口。

修正题目后的完整解答 #

后来修正了题目表述后，结合Mike的思路，我终于顺利推导出结果，步骤如下：

1. 结合第一个条件$2 \sin(A) = 3 \tan(B)$，以及化简后的第二个等式，整理得到：
   $2\sin(A)\tan(B) - 2\cos(A) = \frac{2}{3}\cos(A) - \tan^2 (B)$

2. 将$\sin(A) = \frac{3}{2}\tan(B)$代入上式，进一步化简：
   $$
   3\tan^2 (B) - 2\cos(A) = \frac{2}{3}\cos(A) - \tan^2 (B)
   $$

3. 移项合并同类项后得到：
   $\tan^2 (B) = \frac{2}{3}\cos(A)$

4. 再次利用第一个条件，两边平方得$4\sin^2(A) = 9 \tan^2 (B)$，将$\tan^2(B)=\frac{2}{3}\cos(A)$代入：
   $$
   4\sin^2(A) = 6 \cos(A)
   $$

5. 利用$\sin^2(A)=1-\cos2(A)$替换，整理成关于$\cos(A)$的二次方程：
   $-4\cos^2(A) - 6\cos(A) + 4 = 0$
   因式分解后得到：
   $(2\cos(A) - 1)(-2\cos(A) -4)=0$

6. 解得$\cos(A) = \frac{1}{2}$或$\cos(A)=-2$，由于余弦值的取值范围是$[-1,1]$，所以$\cos(A) = \frac{1}{2}$。

7. 将$\cos(A)=\frac{1}{2}$代入$\tan^2(B)=\frac{2}{3}\cos(A)$，得到：
   $\tan^2(B)=\frac{1}{3}$
   因为B是三角形内角，$\tan(B)>0$，所以$\tan(B)=\frac{1}{\sqrt{3}}$，进而得到$B=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{3}$。

真的非常感谢Mike的思路，帮我突破了瓶颈！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者surrealcanine81