嘿，我来一步步帮你搞定这个参数化求解的事儿！首先先把你的原方程组明确下来，方便后续参考：

原方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + 3x_3 − 2x_4 − x_5 = 1 \
5x_1 − 2x_2 + 3x_3 + 7x_4 + 8x_5 = 3 \
−3x_1 − x_2 + 2x_3 + 7x_4 + 5x_5 = 2 \
5x_1 + 3x_2 + x_3 − 2x_4 − 7x_5 = 3
\end{cases}
$$

你提到已经用高斯消元得到了结果（虽然没放图，但没关系，我给你讲通用的参数化步骤，你可以直接套到自己的消元结果上）：

第一步：区分主元变量和自由变量 #

先看你高斯消元后的行最简形矩阵（或者对应的方程组）：

• 主元变量：每一行第一个非零元素对应的变量（比如第一行的第一个非零项如果是$x_1$，那$x_1$就是主元变量；第二行第一个非零项如果是$x_2$，那$x_2$也是主元变量，以此类推）
• 自由变量：没有被选作主元变量的那些变量，这些就是我们要用来做参数的“自由项”。

举个例子：如果消元后得到的方程组是：
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_3 - x_5 = 4 \
x_2 - x_3 + 3x_5 = 1 \
x_4 + 2x_5 = 2 \
0 = 0
\end{cases}
$$
这里主元变量就是$x_1, x_2, x_4$，自由变量是$x_3$和$x_5$。

第二步：给自由变量设置参数 #

把每个自由变量都设成一个任意实数参数，比如上面的例子里：

• 令$x_3 = t$（$t$是任意实数）
• 令$x_5 = s$（$s$是任意实数）

第三步：用参数表示主元变量 #

从行最简形的每个方程里，把主元变量单独移到左边，剩下的项（包括参数和常数项）移到右边，化简后就能得到主元变量的表达式。还是用上面的例子：

• $x_1 = 4 - 2x_3 + x_5 = 4 - 2t + s$
• $x_2 = 1 + x_3 - 3x_5 = 1 + t - 3s$
• $x_4 = 2 - 2x_5 = 2 - 2s$

第四步：写出完整的参数化解 #

把所有变量都用参数表示出来，你可以写成分变量的形式，也可以写成向量形式，两种都很常用：

分变量形式：

$$
\begin{cases}
x_1 = 4 - 2t + s \
x_2 = 1 + t - 3s \
x_3 = t \
x_4 = 2 - 2s \
x_5 = s
\end{cases}
\quad (t, s \in \mathbb{R})
$$

向量形式：

\begin{pmatrix}
4 \
1 \
0 \
2 \
0
\end{pmatrix}

• t
  \begin{pmatrix}
  -2 \
  1 \
  1 \
  0 \
  0
  \end{pmatrix}
• s
  \begin{pmatrix}
  1 \
  -3 \
  0 \
  -2 \
  1
  \end{pmatrix}
  \quad (t, s \in \mathbb{R})
  $$

注意事项 #

• 如果你的消元结果里出现了类似$0 = 5$这样的矛盾方程，那这个方程组无解，也就不需要参数化了。
• 如果没有自由变量（所有变量都是主元变量），那方程组有唯一解，直接从消元后的方程里解出每个变量就行。

你只需要把自己高斯消元得到的行最简形套进上面的步骤里，就能得到你的方程组的参数化解啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MrJonesBones