嘿，看起来你已经走在正确的道路上了，咱们一步步梳理下你的思路，确认下细节：

一、当$a≠0$时的通解 #

你通过高斯消元得到的$x_1=(b+4)/a$，$x_2=-(b+4)/a$，$x_3=b/2 + 3/2$完全正确！因为当$a≠0$时，这个方程组的系数矩阵是满秩的（没有行是线性相关的），所以方程组有唯一解——而唯一解本身就是该情况下的通解，毕竟没有自由变量可以取任意值，你这部分已经搞定啦。

二、当$a=0$时的情况 #

你算出$b=-3$是关键条件，但咱们可以把整个场景补充得更完整：

• 把$a=0$代入原方程组后：
  1. 第一个方程保持$x_1 + x_2 = 0$；
  2. 第二个方程简化为$-x_3 = 1$，直接得到$x_3=-1$；
  3. 第三个方程变成$0 = b+3$，这就要求$b=-3$才能让方程成立。
• 如果$a=0$且$b=-3$，此时方程组的解满足$x_2=-x_1$，$x_3=-1$，所以通解可以表示为：$x_1=t$，$x_2=-t$，$x_3=-1$（其中$t$为任意实数，$x_1$是自由变量）；
• 如果$a=0$但$b≠-3$，第三个方程就变成“0等于一个非零数”，矛盾，此时方程组无解。

总的来说，你的核心思路完全正确，只是$a=0$的情况可以补充完整解的形式，这样就更严谨啦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chris234