嗨，我来帮你梳理这个问题的解法和结论！先明确问题前提：给定正整数 $r、s$，且 $0 < x \leqslant y < \infty$，需要求解如下分式方程：

$$\frac{sx^{s-1}-ry{s-1}}{sy^{r-1}-rx{r-1}} = \frac{sy^{s-1}-rx{s-1}}{sx^{r-1}-ry{r-1}}$$

你已经发现 $x=y$ 是一个显然解，这个结论完全正确——当 $x=y$ 时，分子分母的同类项会合并为 $(s-r)x^{k}$（$k$ 对应指数），两边分式最终都等于 $x^{s-r}$，必然相等，且这个解和 $r、s$ 的具体取值无关。

接下来我们通过交叉相乘展开的方式推导更完整的解：
首先假设方程两边的分母均不为0（后续会单独讨论分母为0的无意义情况），将原方程交叉相乘得：
$$(sx^{s-1}-ry{s-1})(sx^{r-1}-ry{r-1}) = (sy^{s-1}-rx{s-1})(sy^{r-1}-rx{r-1})$$

把两边分别展开后，你会发现中间的交叉项（$-sr x^{s-1}y{r-1}$、$-sr x^{r-1}y{s-1}$）会完全抵消，最终整理得到：
$$(s^2 - r^2)(x{s+r-2} - y^{s+r-2}) = 0$$

基于这个式子，我们分两种情况讨论：

情况1：$r = s$ #

此时 $s^2 - r^2 = 0$，原方程的左右两边会简化为：
左边：$\frac{s(x^{s-1}-y{s-1})}{-s(x^{s-1}-y{s-1})} = -1$
右边：$\frac{-s(x^{s-1}-y{s-1})}{s(x^{s-1}-y{s-1})} = -1$

需要注意：

• 若 $x=y$，原方程的分母会变为0，属于无意义的情况，不是解；
• 所有满足 $0 < x \leqslant y < \infty$ 且 $x \neq y$ 的数都是方程的解，因为此时两边分式均有定义且等于-1。

情况2：$r \neq s$ #

此时 $s^2 - r^2 \neq 0$，因此必须满足 $x^{s+r-2} - y^{s+r-2} = 0$。
由于 $0 < x \leqslant y < \infty$，且 $s、r$ 是正整数，$s+r-2 \geqslant 1$（除非 $r=s=1$，但该情况已归为情况1），所以只有 $x=y$ 能满足等式。
同时，当 $x=y$ 时，分母为 $(s-r)x^{r-1}$，因为 $r \neq s$ 且 $x>0$，分母不为0，分式有意义，因此唯一解就是 $x=y$。

另外你推导的变形式子：
$$-\frac{syx^s-rxys}{ryx^r-sxyr}=\frac{ryx^s-sxys}{rxy^r-syxr}$$
其实是原方程提取公因子 $xy$ 后的等价变形，和我们上面的推导逻辑一致，是正确的中间步骤。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rhjg