嗨，很高兴能帮你解答这个问题！结论是：是的，M(r)在(0,+∞)上是C^∞（光滑）函数，下面我来一步步解释为什么：

首先，你已经证明了M(r)连续且严格递增，这是个很好的起点。接下来我们从复分析和光滑函数最大值的性质入手：

• 先看函数的光滑性基础
  对于任意固定的r>0，考虑圆周|z|=r上的函数φ(r,θ)=|f(re^{{iθ})|。因为f是整函数（在整个复平面解析），所以f(re}{iθ})对r和θ都是无穷次可微的，它的模的平方φ(r,θ)²=f(re^{{iθ})\overline{f(re}{iθ})}自然也是C^{∞的；而φ(r,θ)=√(φ(r,θ)²)，由于f是非常数整函数，M(r)>0，所以在最大值点附近φ(r,θ)始终大于0，因此φ(r,θ)本身也是C}∞的。

• 最大值点的光滑性
  根据最大模原理，对于每个r>0，圆周|z|=r上至少存在一个θ_r使得φ(r,θ_r)=M(r)。进一步，由于f是非常数的，我们可以证明：在最大值点θ_r处，φ(r,θ)对θ的二阶导数是负的（简单来说，就是函数在该点是“严格向下凸”的，不会出现平坦的最大值区域）。
  这时候我们可以用隐函数定理：因为φ(r,θ)是C^{∞的，且在最大值点处满足“非退化”的条件（二阶导数不为0），所以最大值点θ_r可以表示为r的C}∞函数θ(r)。

• M(r)的光滑性推导
  既然M(r)=φ(r,θ(r))，而φ是C^{∞的，θ(r)也是C}∞的，根据复合函数求导法则，它们的复合函数M(r)自然也是(0,+∞)上的C^∞函数。

另外补充一点：log M(r)是对数凸函数（由Hadamard三圆定理保证），这也从侧面支撑了M(r)的光滑性——严格递增的对数凸函数在非退化的情况下必然是光滑的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tiffany