咱们先解决第一个疑问：为什么单调性能保证这些间断点对应的开区间互不相交？

假设f是单调递增的（递减的情况逻辑完全对称，反过来推就行）。取两个不同的间断点x₁ < x₂，先明确它们对应的区间：

• 对x₁，因为f单调递增，左极限f(x₁⁻) ≤ f(x₁) ≤ f(x₁⁺)，又因为x₁是间断点，所以f(x₁⁻) < f(x₁⁺)，对应的开区间是I₁=(f(x₁⁻), f(x₁⁺))
• 对x₂，对应的开区间是I₂=(f(x₂⁻), f(x₂⁺))

关键来了：因为x₁ < x₂，根据单调递增的性质，x₁右侧所有点的函数值的下确界就是f(x₁⁺)，x₂左侧所有点的函数值的上确界是f(x₂⁻)。对于任何落在(x₁, x₂)里的点t，都有f(x₁⁺) ≤ f(t) ≤ f(x₂⁻)，所以必然有f(x₁⁺) ≤ f(x₂⁻)。

现在看两个开区间：I₁的右端点是f(x₁⁺)（开区间不包含这个点），I₂的左端点是f(x₂⁻)（同样不包含），既然f(x₁⁺) ≤ f(x₂⁻)，那这两个开区间就不可能有重叠的部分——就像两个挨在一起的区间，前一个的尾巴碰不到后一个的头，自然是不交的。

再来说第二个疑问：你担心的“左右极限相等但不等于函数值的可去间断点”，在单调函数里根本不会出现！

还是拿单调递增函数举例：对任意点x，根据单调性，左极限f(x⁻)是所有t<x时f(t)的上确界，所以f(x⁻) ≤ f(x)；而右极限f(x⁺)是所有t>x时f(t)的下确界，所以f(x) ≤ f(x⁺)。也就是说，f(x)必然被夹在左极限和右极限之间：f(x⁻) ≤ f(x) ≤ f(x⁺)。

如果左右极限相等，即f(x⁻)=f(x⁺)=L，那根据上面的不等式，L ≤ f(x) ≤ L，只能是f(x)=L，这就说明x是连续点，不是间断点。所以单调函数的间断点只能是跳跃间断点——左右极限一定不相等，原证明里的描述完全没问题，并没有遗漏情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Finley