嘿，我来帮你拆解Apostol这里的推理逻辑，其实核心就是实数的三歧性（不用纠结术语，看具体推导就行）：

首先先把书上的关键不等式明确下：

对于任意整数 (n \ge 1)，都有：
$$\frac{b^3}{3} - \frac{b^{3}{n}<A<\frac{b}3}{3} + \frac{b^3}{n}$$

Apostol提出的三种可能性 (A>\frac{b^{3}{3})、(A<\frac{b}3}{3})、(A=\frac{b^3}{3})，其实是从实数的基本性质来的：对于任意两个实数 (x) 和 (y)，必然且只会满足以下三种情况之一：(x>y)、(x<y)、(x=y)——这是实数体系里最基础的三歧性公理，这里只是把 (x) 换成 (A)，(y) 换成 (\frac{b^3}{3}) 而已。

但他为什么要结合前面的不等式提这三种可能性？其实是为反证法做铺垫：接下来他应该会证明前两种情况（(A>\frac{b^3}{3}) 或 (A<\frac{b^3}{3})）都会和前面的不等式矛盾，从而只能得出 (A=\frac{b^3}{3}) 的结论。

举个简单的例子帮你理解：假设 (A>\frac{b^3}{3})，那我们可以取一个足够大的 (n)，让 (\frac{b^3}{n} < A - \frac{b^3}{3})，这样就会得到 (\frac{b^3}{3} + \frac{b^3}{n} < A)，这直接和前面的不等式 (A<\frac{b^3}{3} + \frac{b^3}{n}) 矛盾；同理如果 (A<\frac{b^3}{3})，取足够大的 (n) 也会推出矛盾。所以最后只能是 (A=\frac{b^3}{3})。

总结下：三种可能性的提出是基于实数的基本三歧性，而结合前面的不等式是为了后续用反证法锁定唯一正确的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ehehehexddd