嘿，我完全懂你的困惑——这个点确实容易绕晕，咱们一步步拆解清楚：

首先先明确半序的核心定义：

对于集合$A$上的二元关系$R$，$R$是半序当且仅当：
$$aRb \longleftrightarrow u(a)\geq u(b) + q$$
其中$q\geq 0$，$u:A\to\mathbb{R}$是一个实值函数。

先看基础逻辑否定 #

你最初的判断完全正确：对原命题$aRb$（即$u(a)\geq u(b)+q$）做否定，得到的就是$\boldsymbol{u(a) < u(b) + q}$。这是最直接的逻辑规则——“大于等于”的否定就是“小于”，没有任何问题。

那书本里的$u(a) < u(b)-q$是怎么回事？ #

这个式子其实和$\neg(aRb)$不是直接等价的，它对应的是另一种情况：$bRa$（即$b$对$a$满足半序关系）。我们可以推导一下：

• $bRa$的定义是$u(b)\geq u(a)+q$，把这个不等式整理一下，就得到$u(a)\leq u(b)-q$。
• 当$q>0$时，$u(a)=u(b)-q$的情况下，$aRb$必然不成立（代入$aRb$的定义会得到$-q\geq q$，显然矛盾），所以此时$\neg(aRb)$成立；而$u(a)<u(b)-q$时，同样$\neg(aRb)$且$bRa$成立。

所以大概率是书本出现了笔误，或者是上下文里默认讨论的是“$b$优于$a$”的场景，误把$\neg(aRb)$和$bRa$的表述混在了一起。单纯的$\neg(aRb)$其实包含两种情况：

• 情况1：$b$优于$a$，也就是$u(a)<u(b)-q$；
• 情况2：$a$和$b$不可比，也就是$u(b)-q < u(a) < u(b)+q$。

这两种情况合起来才是$\neg(aRb)$的完整等价条件，也就是你一开始想到的$u(a) < u(b)+q$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者G2MWF