嘿，我来帮你把这部分推导的逻辑串起来，其实你已经握到了最核心的钥匙——贝祖恒等式，剩下的就是把它往模运算的方向转化，几步就能搞定啦！

先理清楚你已经有的基础：

问题里说明$x$是$m$模$n$的乘法逆元，$y$是$n$模$m$的乘法逆元。目前我根据贝祖恒等式知道，如果$m$和$n$互质，那么存在整数$x,y$使得$mx + ny = d$，这里$d=\gcd(m,n)=1$。还联想到中国剩余定理提到存在$x,y$满足$mx\equiv 1\pmod n$，$ny\equiv 1\pmod m$，但不知道怎么继续展开证明。

接下来咱们一步步拆解：

• 从贝祖恒等式到模n的逆元：
  因为$m$和$n$互质，所以$\gcd(m,n)=1$，根据贝祖恒等式，必然存在整数$x,y$使得：
  mx + ny = 1
  现在把这个等式两边同时对$n$取模，也就是计算模n下的同余关系：
  $mx + ny \equiv 1 \pmod n$
  注意$ny$是$n$的整数倍，所以$ny \equiv 0 \pmod n$，代入后等式直接简化成：
  $mx \equiv 1 \pmod n$
  这完全符合乘法逆元的定义——如果$mx$模$n$等于1，那$x$就是$m$模$n$的乘法逆元！

• 同理推导模m的逆元：
  回到贝祖恒等式$mx + ny = 1$，这次我们对$m$取模：
  $mx + ny \equiv 1 \pmod m$
  同样的，$mx$是$m$的整数倍，所以$mx \equiv 0 \pmod m$，代入后得到：
  $ny \equiv 1 \pmod m$
  这就证明了$y$是$n$模$m$的乘法逆元。

• 关于中国剩余定理的关联：
  你提到的中国剩余定理，其实这里可以看作它的一个简单应用场景，但本质上逆元的存在性证明不需要依赖它——贝祖恒等式的模运算转化已经足够直接。中国剩余定理更多是用来处理多个不同模的同余方程组的解的存在性，而这里的逆元问题是单个同余式的解，核心逻辑还是贝祖恒等式。

如果还想进一步拓展，比如证明模n下逆元的唯一性，也可以用类似思路：假设$x_1$和$x_2$都是$m$模$n$的逆元，那么$mx_1 \equiv mx_2 \equiv 1 \pmod n$，两式相减得$m(x_1 - x_2) \equiv 0 \pmod n$。因为$m$和$n$互质，所以$n$必须整除$(x_1 - x_2)$，也就是$x_1 \equiv x_2 \pmod n$，这就说明模n下的乘法逆元是唯一的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Felix