嘿，我明白你的困惑点在哪了！你已经推导出$P \lhd N_G(N)$（这里$N=N_G(P)$），这步完全正确，接下来只需要结合Sylow子群的定义和正规化子的核心性质就能打通逻辑了，我给你拆解一下：

• 首先明确：$P$是$G$的Sylow $p$-子群，那它的阶是$|G|$中$p$的最高次幂。现在$N_G(N)$是$G$的子群，所以$P$作为$N_G(N)$的子群，它的阶自然也是$|N_G(N)|$中$p$的最高次幂——也就是说，$P$同时是$N_G(N)$的Sylow $p$-子群。
• 你已经知道$P \lhd N_G(N)$，根据正规子群的定义，对任意$g \in N_G(N)$，都有$gPg^{-1} = P$。而$N=N_G(P)$的定义是什么？就是$G$中所有满足$gPg^{-1}=P$的元素的集合啊！
• 这就直接推出：任何属于$N_G(N)$的元素$g$，都满足$g \in N_G(P)=N$，也就是$N_G(N) \subseteq N$。反过来，$N \subseteq N_G(N)$是显然的——因为对任意$n \in N$，$nNn^{-1}=N$（子群的元素共轭作用自身还是自身），所以$n$必然属于$N_G(N)$。

所以合起来就是$N_G(N)=N$，也就是你说的$N_G(N) < N$（这里应该是包含于的意思，严格来说是相等）。这样就完成了2)到3)的推导啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者M_k