我一直好奇有没有通用定理能保证如下形式的ODE系统（其中$f(x) \in \mathbb{R}^{n}$）：

$$\dot{x} = f(x)$$

至少存在一个平衡解？

举个例子，我记得对于平面系统来说，如果解始终有界，那系统一定包含至少一个平衡点——这好像是庞加莱-本迪克松定理的推论。

那这个结论能拓展到更高维度吗？另外，如果解限制在正卦限内且有界，我们能确定系统存在正平衡点吗？有没有什么通用的定理或者技巧，可以基于系统的动力学特性来解决这类问题呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user32486