问题描述 #

给定数列 ${a_n}$ 定义如下：
$$
\begin{gathered}
a_0=0 ; a_1=1 ; a_2=2 \text { 且 } \
a_{n+3}=5^n \cdot a_{n+2}+n^2 \cdot a_{n+1}+11 a_n \text { 对 } n \geq 0 \text { 成立。}
\end{gathered}
$$
需要证明：存在无穷多个 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $2023 \mid a_n$。

我的尝试思路 #

• 一开始想找下标之间的规律，但数列增长太快，数值变得极大，很难找到明显模式。
• 尝试用中国剩余定理拆分问题：因为 $2023=7 \times 17^2$，所以只需分别证明存在无穷多个 $n$ 满足 $7 \mid a_n$ 和 $17^2 \mid a_n$，再合并结果。但拆分后针对 $7$ 和 $17^2$ 的证明依然难度很高，不知道从何入手。

专家建议的入手方向 #

针对这类带变系数的递推数列，核心思路还是利用模运算的有限性，我给你拆解几个具体可行的步骤：

1. 利用鸽巢原理分析模下的状态周期
   不管模数是7还是17²，我们可以把模 $m$ 后的数列状态定义为三元组 $(a_n \mod m, a_{n+1} \mod m, a_{n+2} \mod m)$——因为递推是三阶的，知道这三个值就能算出下一项。
   模 $m$ 下的状态总数最多是 $m^3$ 种，是有限的，根据鸽巢原理，必然会出现重复的状态。一旦状态重复，整个模数列就会进入循环周期。只要周期里存在某个位置使得 $a_n \equiv 0 \mod m$，那这个0就会周期性出现，自然有无穷多个n满足条件。

2. 先搞定小模数7的情况
   先从简单的7开始：

   • 先把递推式里的系数模7简化：$5^n \mod7$ 是周期的（费马小定理告诉我们，5和7互质，所以$5^6 \equiv1 \mod7$，周期最多6）；$n^2 \mod7$ 也是周期的（周期7）。所以整体递推系数模7的周期是6和7的最小公倍数42。
   • 你可以手动或者写个小脚本计算模7下的前几十项，看看有没有出现 $a_n \equiv0 \mod7$，然后验证后续是不是周期性重复这个结果。

3. 再处理模数17²的情况
   对于17²=289，可以分两步走：

   • 先证明模17下存在无穷多个n使得 $a_n \equiv0 \mod17$，方法和上面模7的思路一致。
   • 然后用Hensel引理尝试把模17的解提升到模289的解；或者直接计算模289下的状态周期，看看周期里有没有0出现——虽然状态总数多，但系数同样是周期化的，计算起来也有规律可循。

4. 用中国剩余定理合并结果
   当你分别证明了模7和模289下都有无穷多解，这两个解集合的交集也是无穷的——因为两个周期序列的公共周期是各自周期的公倍数，只要各自周期内有解，交集里就会有无穷多个n满足同时被7和289整除，也就是被2023整除。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1236528