首先明确问题定义：
我们把$n\geq4$的正整数$n$称为**“好数”**，如果能在$n\times n$的棋盘每个格子上填入实数（允许重复），同时满足两个核心条件：

1. 任意一个$3\times3$子网格内的数字之和为正
2. 任意一个$4\times4$子网格内的数字之和为负

接下来是我梳理的推导过程、已知结论和待解决的部分：

关键递推性质 #

如果$n$是好数（即$n\times n$棋盘满足上述两个条件），那么$n-1$也一定是好数。道理很简单：直接从$n\times n$棋盘中切出任意一个$(n-1)\times(n-1)$的子棋盘即可——原来的$3\times3$和$4\times4$子网格的约束条件，在这个子棋盘中依然完全成立。

已验证的具体值 #

• $n=5$是好数：我构造了一个满足所有条件的$5\times5$棋盘填法：

  | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
  | -1 | -2 | +2 | -2 | -1 |
  | -1 | +2 | +4 | +2 | -1 |
  | -1 | -2 | +2 | -2 | -1 |
  | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
  

  你可以手动验证：所有$3\times3$子网格的和都是正数（比如中间的$3\times3$区域和为$(-2+2-2)+(2+4+2)+(-2+2-2)=4>0$），而所有$4\times4$子网格的和都是负数（比如左上角$4\times4$区域的和为$-3<0$），完全符合“好数”的定义。

• $n=12$不是好数：这里可以用整体求和的矛盾来证明：
  12是3和4的公倍数，我们可以把$12\times12$棋盘分成16个不重叠的$3\times3$子网格（4行×4列的$3\times3$块），每个$3\times3$的和为正，因此整个棋盘的总和是16个正数相加，结果必为正；
  同时，我们也可以把$12\times12$棋盘分成9个不重叠的$4\times4$子网格（3行×3列的$4\times4$块），每个$4\times4$的和为负，因此整个棋盘的总和是9个负数相加，结果必为负。
  这就出现了明显的矛盾，所以$n=12$不可能是好数。

范围推导 #

结合上面的递推性质和$n=12$的结论，可以直接推出：所有$n\geq12$的正整数都不是好数。因为如果存在$n\geq12$是好数，那么通过不断减1递推，$n-1$、$n-2$……直到12都应该是好数，但我们已经证明12不是好数，这就产生了矛盾。

尚未确定的数值 #

目前对于$n=6、7、8、9、10、11$是否为好数还没有明确结论，不过我个人直觉$n=6$应该不是好数，还需要进一步构造反例或者通过矛盾法证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tung N. Dinh