咱们来聊聊实对称矩阵正交对角化时，那个正交矩阵$P$的唯一性问题。已知实对称$n\times n$矩阵$A$是可以正交对角化的，也就是存在正交矩阵$P\in O(n)$，使得$P^TAP=D$（$D$是对角矩阵）。那这个$P$到底能有多“不唯一”呢？我整理了一些思路，也希望能有定理来明确这种唯一性的程度。

极端情况：纯量矩阵 #

当$A=\lambda I_n$（$\lambda\in\mathbb{R}$）时，**任何正交矩阵$P\in O(n)$**都能满足$P^TAP=\lambda I_n=D$。这时候$P$完全没有唯一性限制，整个正交群$O(n)$里的矩阵都能完成对角化。

一般情况的观察与推导 #

先看一个2阶的例子：单位矩阵$I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}$和矩阵$\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & -1\end{pmatrix}$，这两个都是正交矩阵，都能对角化同一个$A$（比如当$A$本身是对角矩阵时）。

假设$P$和$Q$都是正交矩阵，满足$P^TAP=QTAQ=D$，那我们来分析它们的关系：

• 回忆正交对角化矩阵的构造：是把$n$个单位正交特征向量按列堆叠起来。对于一般非对称矩阵，我们可以给特征向量乘任意非零标量得到新的对角化矩阵，但正交矩阵要求列向量是单位长度的，所以这个标量只能是$\pm1$——乘其他数会破坏单位长度的要求。
• 比如2阶的例子里，$\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & -1\end{pmatrix}$和任何2阶对角矩阵都可交换，所以如果$P$是满足条件的正交对角化矩阵，那么$\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & -1\end{pmatrix}P$、$\begin{pmatrix}-1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}P$也都是符合要求的正交对角化矩阵。推广到$n$阶的情况，给$P$的任意一列（或行）变号，得到的矩阵依然是正交对角化矩阵。

准确的唯一性结论 #

结合以上观察，我们可以把情况细分：

• 当$A$的所有特征值互不相同：如果我们固定对角矩阵$D$中特征值的排列顺序，那么正交对角化矩阵$P$唯一到每一列可以乘$\pm1$。也就是说，$Q$一定是$P$乘以一个对角元全为$\pm1$的正交对角矩阵（即每个列向量取正负号）。
• 当$A$有重特征值（但不是纯量矩阵）：除了列向量的正负选择，对应重特征值的特征子空间里，我们可以选择不同的标准正交基。比如某个特征值$\lambda$有$k$重，那么在这个$k$维特征子空间里，替换原来的$k$个列向量为该子空间的任意标准正交基，得到的矩阵依然是正交对角化矩阵。此时$Q = P \cdot S$，其中$S$是正交矩阵且与$D$可交换——也就是$S$是分块对角矩阵，每个块对应$D$中相同特征值的位置，块的大小等于特征值的重数，每个块本身是正交矩阵。
• 当$A$是纯量矩阵$\lambda I_n$：这是最极端的情况，$S$可以是任意正交矩阵，因为整个$n$维空间都是$\lambda$的特征子空间，任何正交基都能用来构造$P$，所以所有正交矩阵都满足条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathguest