嘿，这个积分看起来确实有点“面目可憎”，但其实背后藏着抛物线参数方程的小门道，咱们一步步拆解开捋清楚：

• 先做变量简化，降低视觉复杂度
  把表达式里重复出现的系数定义成简洁的符号：

  • x方向二次项系数：A_x = x₀ - 2x₁ + x₂
  • x方向一次项系数：B_x = 2x₁ - 2x₀
  • y方向二次项系数：A_y = y₀ - 2y₁ + y₂
  • y方向一次项系数：B_y = 2y₁ - 2y₀
    你会发现，被积函数里的分式，其实是二次方程 A_x t² + B_x t + (x₀ - x) = 0 的解，也就是t(x)——这本质是抛物线参数方程 x(t) = x₀ + B_x t + A_x t² 的反函数。

• 看穿被积函数的本质
  仔细看被积函数：A_y t(x)² + B_y t(x) + y₀，这正好是抛物线y方向的参数方程 y(t) = y₀ + B_y t + A_y t²！所以整个被积函数就是抛物线的y关于x的表达式y(x)，咱们要求的积分就是 $\int y(x) dx$。

• 用换元法把积分简化到极致
  既然x是t的二次函数，咱们直接用换元法把积分变量从x换成t：
  先求x对t的导数：
  dx/dt = d/dt [x₀ + B_x t + A_x t²] = B_x + 2A_x t
  原积分就可以转化为：
  $$\int y(t) \cdot (dx/dt) dt = \int (y₀ + B_y t + A_y t²)(B_x + 2A_x t) dt$$
  这个积分就简单多了！只需要把括号展开成多项式，然后逐项积分就行，完全不需要处理根号和max函数。

• 处理定积分的上下限
  因为原积分是关于x的定积分，你只需要把x的上下限代入二次方程 A_x t² + B_x t + (x₀ - x) = 0，解出对应的t值（题目说函数连续且总是实数，所以判别式非负，解是实数），再把t的上下限代入积分结果计算差值即可。

• 用你给的例子验证一下
  比如你给出的点$(x_0, y_0) = (10, 5), (x_1, y_1) = (2, 7), (x_2, y_2) = (8, 3)$，先算系数：

  • A_x = 10 - 2*2 + 8 = 14
  • B_x = 2*2 - 2*10 = -16
  • A_y = 5 - 2*7 + 3 = -6
  • B_y = 2*7 - 2*5 = 4
    展开被积函数的多项式形式：
    $(5 + 4t - 6t²)(-16 + 28t) = -80 + 76t + 208t² - 168t³$
    逐项积分得到：
    $$-80t + 38t² + \frac{208}{3}t³ - 42t⁴ + C$$
    之后只要找到对应x上下限的t值，代入计算差值就完成了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TheRedCat