嘿，我来一步步帮你理清楚这个问题，尽量说得直白好懂，咱们从你的问题本身出发慢慢拆解。

首先先把你给出的函数和你自己的尝试过程明确下来：
你要分析的分段函数是：
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$
$$f(x) = \begin{cases} 2x^2 & \text{if } x \ge 0 \ -2x^2 & \text{if } x < 0 \end{cases}$$

你自己尝试的证明思路是：

我们已知$f(x)$在非0点都是连续的，所以只需要证明它在$x_0=0$处连续就行。
取任意一个收敛到0的实数列${x_n}_{n \ge 1}$，因为$f(0)=0$，且$f(x_n)$当$n\to\infty$时也收敛到0，所以就得出$f(x)$在0处连续。

现在你有几个核心的疑问，咱们一个个来掰碎了说：

一、为什么只需要在分段点证明连续性？ #

这其实是个很关键的基础认知：对于分段定义的函数，每一段对应的表达式如果是我们已经知道的连续函数（比如这里的$2x^2$和$-2x2$，都是多项式函数，而多项式函数在整个实数域上都是连续的），那在每一段的内部（也就是不包含分段点的区间里），函数的连续性是自带的，不用再额外证明。

那为什么分段点（这里就是$x=0$）是例外？因为分段点是两个不同表达式的“衔接处”，两个段的函数在趋近这个点时的极限会不会和该点的函数值一致，是没法直接从单段的连续性推出来的——哪怕其中一段用的是非严格不等式（比如这里$x\ge0$），也不影响，因为分段点是两个表达式的分界，必须单独验证衔接是否“平滑”，也就是连续性。

举个简单的反例：如果有个函数是$g(x)=\begin{cases}1 & x\ge0 \ 0 & x<0\end{cases}$，两段各自都是常数函数（连续），但在$x=0$处左极限是0，右极限是1，和$g(0)=1$不相等，所以在0处不连续。这就说明分段点必须单独验证。

二、怎么严谨证明$f(x_n)\to0$，哪怕数列${x_n}$正负交替？ #

这是你最困惑的点，咱们用数列极限的$\epsilon-N$定义来严谨推导，这是能复用的通用方法，以后遇到类似分段函数的数列极限都能用：

首先，回忆数列极限的定义：要证明$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0$，就是要对任意给定的正数$\epsilon$，都能找到一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|f(x_n)-0| < \epsilon$。

现在咱们分情况看$f(x_n)$的取值：

1. 如果某个$x_n \ge 0$，那$f(x_n)=2x_n^{2$，所以$|f(x_n)|=|2x_n}2|=2x_n^2$；
2. 如果某个$x_n < 0$，那$f(x_n)=-2x_n^{2$，所以$|f(x_n)|=|-2x_n}2|=2|x_n|^{2$（因为平方之后负号就没了，$x_n}2=|x_n|^2$）。

不管$x_n$是正还是负，统一可以写成$|f(x_n)|=2|x_n|^2$——这一步是关键！不管数列的项是正、负还是交替，这个式子都成立。

现在，已知${x_n}$收敛到0，根据数列收敛的定义，对于任意给定的$\epsilon>0$，我们可以先算一个对应的“阈值”：这里我们需要$2|x_n|^2 < \epsilon$，也就是$|x_n|^2 < \epsilon/2$，进一步得到$|x_n| < \sqrt{\epsilon/2}$。

因为$x_n\to0$，所以对于这个$\sqrt{\epsilon/2}$（这是一个正数），一定存在正整数$N$，当$n>N$时，$|x_n| < \sqrt{\epsilon/2}$。

那把这个代入$|f(x_n)|$的表达式：当$n>N$时，$|f(x_n)|=2|x_n|^2 < 2*(\sqrt{\epsilon/2})^2=2*(\epsilon/2)=\epsilon$。

完美！这就满足了数列极限的定义，所以$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0$，不管${x_n}$是全正、全负还是正负交替，这个推导都成立。

三、通用的分段函数分段点连续性证明步骤（可复用） #

咱们把刚才的思路整理成一套能直接套用的严谨流程，以后遇到类似问题都能用：

1. 确定需要验证的点：找到分段函数所有的分段点（比如多个分段的话就是每个衔接点），因为非分段点的区间内，只要表达式是已知连续函数（多项式、指数、对数等基本连续函数），就自带连续性；
2. 计算分段点的函数值：把分段点代入函数定义，得到$f(x_0)$（这里$x_0=0$，$f(0)=2*0^2=0$）；
3. 验证分段点处的极限（数列法）：
   • 任取一个收敛到$x_0$的数列${x_n}$；
   • 针对函数的分段定义，找到$f(x_n)$的统一表达式（或者分情况但最终能统一到一个可以用$|x_n - x_0|$约束的式子）；
   • 利用${x_n}\to x_0$的条件，结合极限的定义，证明$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)$；
4. 结论：如果上述极限成立，就说明函数在$x_0$处连续，结合非分段点的连续性，就得出整个函数的连续性。

如果用更直接的$\epsilon-\delta$定义法，步骤也类似：

• 任取$\epsilon>0$，找到$\delta>0$，使得当$|x - 0| < \delta$时，$|f(x)-0| < \epsilon$；
• 同样利用$|f(x)|=2x^2=2|x|2$（不管$x$正负），解出$\delta=\sqrt{\epsilon/2}$，这样当$|x|<\delta$时，$|f(x)|=2|x|^2 < 2*(\sqrt{\epsilon/2})^2=\epsilon$，满足定义。

再回头看你自己的尝试 #

你的思路方向是完全对的，只是在证明$f(x_n)\to0$的时候，需要把“为什么不管$x_n$正负交替都能到0”的步骤补全，也就是咱们刚才用绝对值统一表达式，再结合数列收敛定义的过程。补上这一步，你的证明就完全严谨了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user129393192