我认为这个陈述是错误的，咱们通过计算x=0处的左右导数就能验证：

函数在x≠0的区域，x>0时是指数函数$e^{-1/x}$，处处可导；x<0时是常数0，也处处可导。所以关键就看x=0这一点的可导性，而可导的前提是左导数和右导数存在且相等。

• 计算右导数（h→0⁺）：
  根据导数定义，右导数为：
  $$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{e{-1/h}}{h}$$
  做变量替换$t=\frac{1}{h}$，当$h\to0^{+$时$t\to+\infty$，原式转化为$\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{e}t}$，由于指数函数增长远快于多项式，这个极限等于0。

• 计算左导数（h→0⁻）：
  我这里的推导是：
  $$\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to0^-}\frac{e{-1/h}}{h}$$
  同样做变量替换，令$h\to0^{-$时，$t=\frac{1}{h}\to-\infty$，原式变为$\lim_{t\to-\infty}te}{-t}$。展开$e^{{-t}$的泰勒级数：$e}{-t}=1-t+\frac{t^{2}{2!}-\frac{t}3}{3!}+\dots$，代入后得到：
  $$\lim_{t\to-\infty}\left(t - t^2 + \frac{t^3}{2!} - \dots\right)$$
  当$t\to-\infty$时，这个级数的主导项是$\frac{t^3}{2!}$，趋向于$-\infty$，所以左导数是$-\infty$，不存在有限值。

显然，右导数是0，左导数不存在（趋向负无穷），两者不相等，所以函数在x=0处不可导，也就不能说在全体实数上都可导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jasmine